Änderungen von Dokument Lösung Formen von Geradengleichungen

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,5 +1,93 @@
1	1	(%class=abc%)
2		-1. 1. Winkelhalbierende sind Geraden, die einen Winkel in zwei gleich große Winkel teilen. Im Koordinatensystem teilen die beiden Winkelhalbierenden jeweils die Winkel zwischen x-Achse und y-Achse:
3		-[[image:beispiel.jpg]]
	2	+1. (((
	3	+(((1. Winkelhalbierende sind Geraden, die einen Winkel in zwei gleich große Winkel teilen. Im Koordinatensystem teilen die beiden Winkelhalbierenden jeweils die Winkel zwischen x-Achse und y-Achse:
	4	+[[image:Winkelhalbierende.svg||width="300"style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
	5	+Die 1. Winkelhalbierende ist gegeben durch die Gleichung {{formula}}y=x{{/formula}} und die zweite durch {{formula}}y=-x{{/formula}}
	6	+
4	4	__Hauptform:__
5		-Beide Winkelhalbierenden lassen sich darstellen.
	8	+Die 1. Winkelhalbierende lässt sich darstellen durch {{formula}}y=x=1\cdot x+0{{/formula}} (d.h. {{formula}}m=1, \ b=0{{/formula}}).
	9	+
	10	+Die 2. Winkelhalbierende lässt sich darstellen durch {{formula}}y=-x=(-1)\cdot x+0{{/formula}} (d.h. {{formula}}m=-1, \ b=0{{/formula}}).
	11	+
	12	+__Punkt-Steigungs-Form:__
	13	+Die 1. Winkelhalbierende lässt sich darstellen durch {{formula}}y=x=1\cdot (x-0)+0{{/formula}} (d.h. {{formula}}m=1, \ x_p=0, \ y_p=0{{/formula}}).
	14	+
	15	+Die 2. Winkelhalbierende lässt sich darstellen durch {{formula}}y=-x=(-1)\cdot (x-0)+0{{/formula}} (d.h. {{formula}}m=-1, \ x_p=0, \ y_p=0{{/formula}}).
	16	+
	17	+__Produktform:__
	18	+Die 1. Winkelhalbierende lässt sich darstellen durch {{formula}}y=x=1\cdot (x-0){{/formula}} (d.h. {{formula}}m=1, \ x_p=0{{/formula}}).
	19	+
	20	+Die 2. Winkelhalbierende lässt sich darstellen durch {{formula}}y=-x=(-1)\cdot (x-0){{/formula}} (d.h. {{formula}}m=-1, \ x_p=0{{/formula}}).
	21	+
	22	+__Achsenabschnittsform:__
	23	+Da die beiden Winkelhalbierenden die x-Achse/bzw. y-Achse nur im Punkt Ursprung schneiden (d.h. {{formula}}x_0=0, \ y_0=0{{/formula}}), das Teilen durch 0 jedoch nicht möglich ist, sind die Winkelhalbierenden nicht darstellbar.
	24	+
	25	+__Allgemeine Form:__
	26	+Die 1. Winkelhalbierende lässt sich darstellen durch {{formula}}-x+y=0{{/formula}} (d.h. {{formula}}A=-1, \ B=1, \ C=0{{/formula}}) oder {{formula}}x-y=0{{/formula}} (d.h. {{formula}}A=1, \ B=-1, \ C=0{{/formula}}).
	27	+
	28	+Die 2. Winkelhalbierende lässt sich darstellen durch {{formula}}x+y=0{{/formula}} (d.h. {{formula}}A=1, \ B=1, \ C=0{{/formula}})
	29	+
	30	+Somit lassen sich beide Winkelhalbierende in allen Formen außer der Achsenabschnittsform darstellen.
	31	+)))
	32	+1. (((Die Parallele zur x-Achse ist gegeben durch die Gleichung {{formula}}y=y_0{{/formula}}.
	33	+Die Parallele zur y-Achse ist gegeben durch die Gleichung {{formula}}x=x_0{{/formula}}.
	34	+{{formula}}y_0{{/formula}} und {{formula}}x_0{{/formula}} sind dabei beliebige reelle Zahlen.
	35	+
	36	+__Hauptform:__
	37	+Die Parallele zur x-Achse ist gegeben durch {{formula}}y=0\cdot x+b=b{{/formula}} (d.h. {{formula}}m=0{{/formula}}, {{formula}}b{{/formula}} beliebig).
	38	+
	39	+Die Parallele zur y-Achse ist nicht darstellbar.
	40	+
	41	+__Punkt-Steigungs-Form:__
	42	+Die Parallele zur x-Achse ist gegeben durch {{formula}}y=0\cdot (x-x_p)+y_p=y_p{{/formula}} (d.h. {{formula}}m=0{{/formula}}, {{formula}}x_p, \ y_p{{/formula}} beliebig).
	43	+
	44	+Die Parallele zur y-Achse ist nicht darstellbar.
	45	+
	46	+__Produktform:__
	47	+Die einzige Lösung, um eine Parellele zur x-Achse zu erhalten, wäre es, {{formula}}m=0{{/formula}} zu setzen, wodurch man die Gleichung {{formula}}y=0{{/formula}} erhält (d.h. die Parallele ist die x-Achse selbst).{{formula}}x_0{{/formula}} ist dabei beliebig wählbar.
	48	+
	49	+Die Parallele zur y-Achse ist nicht darstellbar.
	50	+
	51	+__Achsenabschnittsform:__
	52	+Um eine Parallele zur x-Achse bzw. zur y-Achse zu erhalten, müsste {{formula}}x_0{{/formula}} bzw. {{formula}}y_0{{/formula}} gegen unendlich gehen. Die Parallelen sind also nicht direkt darstellbar.
	53	+
	54	+__Allgemeine Form:__
	55	+Parallele zur x-Achse: Mit {{formula}}A=0, \ B=1{{/formula}}, {{formula}} C{{/formula}} beliebig, lässt sich die Parallele darstellen durch {{formula}} y+C=0{{/formula}}
	56	+Parallele zur y-Achse: Mit {{formula}}A=1, \ B=0 {{/formula}}, {{formula}} C{{/formula}} beliebig, lässt sich die Parallele darstellen durch {{formula}} x+C=0{{/formula}}
	57	+)))
	58	+1. (((Charakteristische Größen:
	59	+__Hauptform:__
	60	+Steigung {{formula}}m{{/formula}}, y-Achsenabschnitt {{formula}}b{{/formula}}
	61	+
	62	+__Punkt-Steigungs-Form__:
	63	+Steigung {{formula}}m{{/formula}}, Punkt {{formula}}(x_p|y_p){{/formula}}
	64	+
	65	+__Produktform__:
	66	+Steigung {{formula}}m{{/formula}}, Nullstelle {{formula}}x_0{{/formula}}
	67	+
	68	+__Achsenabschnittsform__:
	69	+x-Achsenabschnitt {{formula}}x_0{{/formula}}, y-Achsenabschnitt {{formula}}y_0{{/formula}}
	70	+
	71	+__Allgemeine Form__:
	72	+Die charakteristischen Größen, lassen sich nicht direkt ablesen.
	73	+)))
	74	+)))
	75	+1. (((1. (((Die Hauptform erhält man aus der Punkt-Steigungsform, indem man {{formula}}x_p=0{{/formula}} setzt und {{formula}}y_p{{/formula}} umbenennt zu {{formula}}b{{/formula}}.
	76	+Die Produktform erhält man aus der Punkt-Steigungsform, indem man {{formula}}y_p=0{{/formula}} setzt und {{formula}}x_p{{/formula}} umbenennt zu {{formula}}x_0{{/formula}}.)))
	77	+1. (((Wie wir in Teilaufgabe a) gesehen haben, lassen sich nur mit der Allgemeinen Form sowohl die beiden Winkelhalbierenden als auch beide Parallelen der Koordinatenachsen darstellen.
	78	+)))
	79	+)))
	80	+1. ((( Umstellen der Achsenabschnittsform nach {{formula}}y{{/formula}}:
	81	+
	82	+{{formula}}
	83	+\begin{align*}
	84	+\frac{x}{x_0}+\frac{y}{y_0}&=1 &&\mid -\frac{x}{x_0}\\
	85	+\frac{y}{y_0}&=1-\frac{x}{x_0} &&\mid \cdot y_0\\
	86	+y&=y_0-\frac{x}{x_0}\cdot y_0
	87	+y&=y_0-x\cdot \frac{y_0}{x_0}=\left(-\frac{y_0}{x_0}\right)x+y_0
	88	+\end{align*}
	89	+{{/formula}}
	90	+
	91	+Vergleichen wir dies mit der Hauptform, so stellen wir fest, dass die Steigung {{formula}}m=-\frac{y_0}{x_0}{{/formula}} ist.
	92	+)))
	93	+