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Zuletzt geändert von akukin am 2025/08/16 14:41
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1 (%class=abc%)
2 1. (((1. (((Winkelhalbierende sind Geraden, die einen Winkel in zwei gleich große Winkel teilen. Im Koordinatensystem teilen die beiden Winkelhalbierenden jeweils die Winkel zwischen x-Achse und y-Achse:
3 [[image:Winkelhalbierende.svg||width="300"style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
4 Die 1. Winkelhalbierende ist gegeben durch die Gleichung {{formula}}y=x{{/formula}} und die zweite durch {{formula}}y=-x{{/formula}}
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6 __Hauptform:__
7 Die 1. Winkelhalbierende lässt sich darstellen durch {{formula}}y=x=1\cdot x+0{{/formula}} (d.h. {{formula}}m=1, \ b=0{{/formula}}).
8
9 Die 2. Winkelhalbierende lässt sich darstellen durch {{formula}}y=-x=(-1)\cdot x+0{{/formula}} (d.h. {{formula}}m=-1, \ b=0{{/formula}}).
10
11 __Punkt-Steigungs-Form:__
12 Die 1. Winkelhalbierende lässt sich darstellen durch {{formula}}y=x=1\cdot (x-0)+0{{/formula}} (d.h. {{formula}}m=1, \ x_p=0, \ y_p=0{{/formula}}).
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14 Die 2. Winkelhalbierende lässt sich darstellen durch {{formula}}y=-x=(-1)\cdot (x-0)+0{{/formula}} (d.h. {{formula}}m=-1, \ x_p=0, \ y_p=0{{/formula}}).
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16 __Produktform:__
17 Die 1. Winkelhalbierende lässt sich darstellen durch {{formula}}y=x=1\cdot (x-0){{/formula}} (d.h. {{formula}}m=1, \ x_p=0{{/formula}}).
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19 Die 2. Winkelhalbierende lässt sich darstellen durch {{formula}}y=-x=(-1)\cdot (x-0){{/formula}} (d.h. {{formula}}m=-1, \ x_p=0{{/formula}}).
20
21 __Achsenabschnittsform:__
22 Da die beiden Winkelhalbierenden die x-Achse/bzw. y-Achse nur im Punkt Ursprung schneiden (d.h. {{formula}}x_0=0, \ y_0=0{{/formula}}), das Teilen durch 0 jedoch nicht möglich ist, sind die Winkelhalbierenden nicht darstellbar.
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24 __Allgemeine Form:__
25 Die 1. Winkelhalbierende lässt sich darstellen durch {{formula}}-x+y=0{{/formula}} (d.h. {{formula}}A=-1, \ B=1, \ C=0{{/formula}}) oder {{formula}}x-y=0{{/formula}} (d.h. {{formula}}A=1, \ B=-1, \ C=0{{/formula}}).
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27 Die 2. Winkelhalbierende lässt sich darstellen durch {{formula}}x+y=0{{/formula}} (d.h. {{formula}}A=1, \ B=1, \ C=0{{/formula}})
28
29 Somit lassen sich beide Winkelhalbierende in allen Formen außer der Achsenabschnittsform darstellen.
30 )))
31 1. (((Die Parallele zur x-Achse ist gegeben durch die Gleichung {{formula}}y=y_0{{/formula}}.
32 Die Parallele zur y-Achse ist gegeben durch die Gleichung {{formula}}x=x_0{{/formula}}.
33 {{formula}}y_0{{/formula}} und {{formula}}x_0{{/formula}} sind dabei beliebige reelle Zahlen.
34
35 __Hauptform:__
36 Die Parallele zur x-Achse ist gegeben durch {{formula}}y=0\cdot x+b=b{{/formula}} (d.h. {{formula}}m=0{{/formula}}, {{formula}}b{{/formula}} beliebig).
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38 Die Parallele zur y-Achse ist nicht darstellbar.
39
40 __Punkt-Steigungs-Form:__
41 Die Parallele zur x-Achse ist gegeben durch {{formula}}y=0\cdot (x-x_p)+y_p=y_p{{/formula}} (d.h. {{formula}}m=0{{/formula}}, {{formula}}x_p, \ y_p{{/formula}} beliebig).
42
43 Die Parallele zur y-Achse ist nicht darstellbar.
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45 __Produktform:__
46 Die einzige Lösung, um eine Parellele zur x-Achse zu erhalten, wäre es, {{formula}}m=0{{/formula}} zu setzen, wodurch man die Gleichung {{formula}}y=0{{/formula}} erhält (d.h. die Parallele ist die x-Achse selbst).{{formula}}x_0{{/formula}} ist dabei beliebig wählbar.
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48 Die Parallele zur y-Achse ist nicht darstellbar.
49
50 __Achsenabschnittsform:__
51 Um eine Parallele zur x-Achse bzw. zur y-Achse zu erhalten, müsste {{formula}}x_0{{/formula}} bzw. {{formula}}y_0{{/formula}} gegen unendlich gehen. Die Parallelen sind also nicht direkt darstellbar.
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53 __Allgemeine Form:__
54 Parallele zur x-Achse: Mit {{formula}}A=0, \ B=1{{/formula}}, {{formula}} C{{/formula}} beliebig, lässt sich die Parallele darstellen durch {{formula}} y+C=0{{/formula}}
55 Parallele zur y-Achse: Mit {{formula}}A=1, \ B=0 {{/formula}}, {{formula}} C{{/formula}} beliebig, lässt sich die Parallele darstellen durch {{formula}} x+C=0{{/formula}}
56 )))
57 1. (((Charakteristische Größen:
58 __Hauptform:__
59 Steigung {{formula}}m{{/formula}}, y-Achsenabschnitt {{formula}}b{{/formula}}
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61 __Punkt-Steigungs-Form__:
62 Steigung {{formula}}m{{/formula}}, Punkt {{formula}}(x_p|y_p){{/formula}}
63
64 __Produktform__:
65 Steigung {{formula}}m{{/formula}}, Nullstelle {{formula}}x_0{{/formula}}
66
67 __Achsenabschnittsform__:
68 x-Achsenabschnitt {{formula}}x_0{{/formula}}, y-Achsenabschnitt {{formula}}y_0{{/formula}}
69
70 __Allgemeine Form__:
71 Die charakteristischen Größen, lassen sich nicht direkt ablesen.
72 )))
73 )))
74 1. (((1. (((Die Hauptform erhält man aus der Punkt-Steigungsform, indem man {{formula}}x_p=0{{/formula}} setzt und {{formula}}y_p{{/formula}} umbenennt zu {{formula}}b{{/formula}}.
75 Die Produktform erhält man aus der Punkt-Steigungsform, indem man {{formula}}y_p=0{{/formula}} setzt und {{formula}}x_p{{/formula}} umbenennt zu {{formula}}x_0{{/formula}}.)))
76 1. (((Wie wir in Teilaufgabe a) gesehen haben, lassen sich nur mit der Allgemeinen Form sowohl die beiden Winkelhalbierenden als auch beide Parallelen der Koordinatenachsen darstellen.
77 )))
78 )))
79 1. ((( Umstellen der Achsenabschnittsform nach {{formula}}y{{/formula}}:
80
81 {{formula}}
82 \begin{align*}
83 \frac{x}{x_0}+\frac{y}{y_0}&=1 &&\mid -\frac{x}{x_0}\\
84 \frac{y}{y_0}&=1-\frac{x}{x_0} &&\mid \cdot y_0\\
85 y&=y_0-\frac{x}{x_0}\cdot y_0 \\
86 y&=\left(-\frac{y_0}{x_0}\right)x+y_0
87 \end{align*}
88 {{/formula}}
89
90 Vergleichen wir dies mit der Hauptform, so stellen wir fest, dass die Steigung {{formula}}m=-\frac{y_0}{x_0}{{/formula}} ist.
91 )))