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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

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1		-//Analyse: //
2		-Gegeben: Rechteckiges Spielfeld, ausgelegt mit Fußbällen, „quadratische Anordnung“, d. h.Mittelpunkte benachbarter Fußbälle bilden ein Quadrat.
3		-
4		-Gesucht: Anzahl von Fußbällen auf dem Spielfeld, d.h. Anzahl von Kreisen, die in dem Rechteck Platz haben. Es wird angenommen, dass alle Bälle dieselbe Größe haben.
5		-
6		-
7		-//Durchführung: //
8		-a) Benötigt werden die Maße der Spielfläche, d. h. die Seitenlängen des Rechtecks, sowie der Durchmesser der Bälle.
9		-
	1	+Erwartungshorizont
	2	+Analyse:
	3	+Gegeben: Rechteckiges Spielfeld, ausgelegt mit Fußbällen, „quadratische Anordnung“, d. h.
	4	+Mittelpunkte benachbarter Fußbälle bilden ein Quadrat.
	5	+Gesucht: Anzahl von Fußbällen auf dem Spielfeld, d.h. Anzahl von Kreisen, die in dem Rechteck Platz
	6	+haben. Es wird angenommen, dass alle Bälle dieselbe Größe haben.
	7	+Durchführung:
	8	+a) Benötigt werden die Maße der Spielfläche, d. h. die Seitenlängen des Rechtecks, sowie der
	9	+Durchmesser der Bälle.
10	10	Schätzung: Spielfeld 70 m x 110 m
11	11	Durchmesser eines Balles: Zwischen 20 und 25 cm
12	12	d = 20 cm: 7000/20 = 350; 11000/20 = 550;
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13	13	350 Reihen mit jeweils 550 Fußbällen: 350 ⋅ 550 = 192500 Fußbälle.
14	14	d = 25 cm: 7000/25 = 280; 11000/25 = 440;
15	15	280 Reihen mit jeweils 440 Fußbällen: 280 ⋅ 440 = 123200 Fußbälle.
16		-
17	17	b) Statt quadratisch könnte man die Fußbälle auch im Dreieck anordnen
18		-[[image:Fußballanordnung.PNG||width="500"]]
19	19
20		-Dadurch rücken die Reihen enger zusammen. Bei der quadratischen Anordnung haben die Reihen einen Mittelpunktsabstand von 2r, bei der Dreiecksanordnung ist es die Höhe im gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge 2r: {{formula}}h = r \cdot \sqrt{3} \approx 1,73 \cdot r{{/formula}}. Dies erhält man entweder exakt durch Berechnung (Pythagoras) oder näherungsweise durch Zeichnung (z. B. mit Münzen, Abstand wird um ca. ¼ r kleiner). Statt 2r haben die Reihen nun also ca. 1,75r Abstand. {{formula}}\frac{2}{1,75}{{/formula}}. Es passen mit der Dreiecksanordnung also ca. 14 % mehr Bälle auf das Spielfeld.
21	21
22		-//Reflexion: //
	19	+Dadurch rücken die Reihen enger zusammen. Bei der quadratischen Anordnung haben die Reihen
	20	+einen Mittelpunktsabstand von 2r, bei der Dreiecksanordnung ist es die Höhe im gleichseitigen
	21	+Dreieck mit Seitenlänge 2r: ℎ = 𝑟 ⋅ √3 ≈ 1,73 ⋅ 𝑟. Dies erhält man entweder exakt durch
	22	+Berechnung (Pythagoras) oder näherungsweise durch Zeichnung (z. B. mit Münzen, Abstand wird
	23	+um ca. ¼ r kleiner). Statt 2r haben die Reihen nun also ca. 1,75r Abstand. 2
	24	+1,75
	25	+≈ 1,14. Es passen
	26	+mit der Dreiecksanordnung also ca. 14 % mehr Bälle auf das Spielfeld.
	27	+Reflexion:
23	23	Die Spanne in a) ist sehr groß. Es bietet sich daher an, einen Schätzwert in der Mitte der beiden
24	24	Werte anzugeben, also ca. 160 000 Fußbälle.
25	25	Bei b) könnte man noch berücksichtigen, dass bei der Dreiecksanordnung in jeder zweiten Reihe ein