Wiki-Quellcode von Lösung Fussball
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| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
| 1 | Erwartungshorizont | ||
| 2 | Analyse: | ||
| 3 | Gegeben: Rechteckiges Spielfeld, ausgelegt mit Fußbällen, „quadratische Anordnung“, d. h. | ||
| 4 | Mittelpunkte benachbarter Fußbälle bilden ein Quadrat. | ||
| 5 | Gesucht: Anzahl von Fußbällen auf dem Spielfeld, d.h. Anzahl von Kreisen, die in dem Rechteck Platz | ||
| 6 | haben. Es wird angenommen, dass alle Bälle dieselbe Größe haben. | ||
| 7 | Durchführung: | ||
| 8 | a) Benötigt werden die Maße der Spielfläche, d. h. die Seitenlängen des Rechtecks, sowie der | ||
| 9 | Durchmesser der Bälle. | ||
| 10 | Schätzung: Spielfeld 70 m x 110 m | ||
| 11 | Durchmesser eines Balles: Zwischen 20 und 25 cm | ||
| 12 | d = 20 cm: 7000/20 = 350; 11000/20 = 550; | ||
| 13 | 350 Reihen mit jeweils 550 Fußbällen: 350 ⋅ 550 = 192500 Fußbälle. | ||
| 14 | d = 25 cm: 7000/25 = 280; 11000/25 = 440; | ||
| 15 | 280 Reihen mit jeweils 440 Fußbällen: 280 ⋅ 440 = 123200 Fußbälle. | ||
| 16 | b) Statt quadratisch könnte man die Fußbälle auch im Dreieck anordnen | ||
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| 19 | Dadurch rücken die Reihen enger zusammen. Bei der quadratischen Anordnung haben die Reihen | ||
| 20 | einen Mittelpunktsabstand von 2r, bei der Dreiecksanordnung ist es die Höhe im gleichseitigen | ||
| 21 | Dreieck mit Seitenlänge 2r: ℎ = 𝑟 ⋅ √3 ≈ 1,73 ⋅ 𝑟. Dies erhält man entweder exakt durch | ||
| 22 | Berechnung (Pythagoras) oder näherungsweise durch Zeichnung (z. B. mit Münzen, Abstand wird | ||
| 23 | um ca. ¼ r kleiner). Statt 2r haben die Reihen nun also ca. 1,75r Abstand. 2 | ||
| 24 | 1,75 | ||
| 25 | ≈ 1,14. Es passen | ||
| 26 | mit der Dreiecksanordnung also ca. 14 % mehr Bälle auf das Spielfeld. | ||
| 27 | Reflexion: | ||
| 28 | Die Spanne in a) ist sehr groß. Es bietet sich daher an, einen Schätzwert in der Mitte der beiden | ||
| 29 | Werte anzugeben, also ca. 160 000 Fußbälle. | ||
| 30 | Bei b) könnte man noch berücksichtigen, dass bei der Dreiecksanordnung in jeder zweiten Reihe ein | ||
| 31 | Ball weniger Platz hat. Bei 350 Reihen, d. h. 175 Bällen weniger, macht sich dies bei so vielen Bällen | ||
| 32 | aber kaum bemerkbar. 14 % mehr Bälle bei ca. 160 000 Bällen sind 22 400 Bälle mehr! Auch die | ||
| 33 | Frage, ob die letzte Reihe noch auf das Spielfeld passt, ist daher belanglos. |