Lösung Gitterpunkte

Zuletzt geändert von akukin am 2023/11/27 19:13

Analyse: 

Gitterpunkte Dreieck 1.PNG
Informative Skizze/n:

So könnte ein mögliches Dreieck aussehen. Es ist rechtwinklig und so platziert, dass
die Eckpunkte auf Gitterpunkten liegen. Auf der Hypotenuse liegt kein Gitterpunkt.

Gitterpunkte Dreieck 2.PNG
Hier sind die Gitterpunkte auf dem Rand des Dreiecks mit Kreisen, die Gitterpunkte im Inneren des Dreiecks mit Kreuzen gekennzeichnet.

Festlegung der Variablen: 
R(a,b)  steht für die Anzahl der Randpunkte bei Kathetenlängen a   und b .
I(a,b)  steht für die Anzahl Gitterpunkte im Inneren bei Kathetenlängen a   und b .

Durchführung: 

Beispiel: Beim Dreieck oben, sind die Katheten  3  und  4  LE lang, man findet durch Abzählen  8 Gitterpunkte auf dem Rand, also R(3,4) = 8  und 3 Gitterpunkte im Inneren, also I(3,4) = 3.

Für weitere Überlegungen können weitere Skizzen herangezogen werden, z.B. für a = 5  und b = 12 (müssen aber nicht, die Argumentation lässt sich auch am Eingangsbeispiel nachvollziehen)

Randpunkte:

Gitterpunkte Dreieck 3.PNG

Auf der Längsseite liegen 13 Punkte (bei einer Kathetenlänge von 12 LE). Auf
der Breitseite liegen 6 Punkte (bei einer Kathetenlänge von 5 LE).
Der gemeinsame Eckpunkt wurde doppelt gezählt.
Daher sind es insgesamt 13 + 6 – 1 = 18 Punkte.
Somit ist R(5,12) = 18

Verallgemeinerung:
Allgemein erkennt man leicht:
a + 1 Gitterpunkte liegen auf der Kathete der Länge a.
b + 1 Gitterpunkte liegen auf Kathete der Länge b.
Der gemeinsame Eckpunkt wurde doppelt gezählt.
Es gilt also allgemein: R(a,b) = (a + 1) + (b + 1) – 1 = a + b + 1

Punkte im Inneren:
Die Kreuze innen lassen sich im Beispiel abzählen: I(5,12) = 22.
Abzählen ist für den allgemeinen Fall nicht zielführend,hierfür muss ein Schema gefunden werden.
Gitterpunkte Dreieck 4.PNG
Dadurch, dass keine Gitterpunkte auf der Hypotenuse des Dreiecks liegen,
lässt sich durch Erweiterung des Dreiecks auf ein Rechteck mit den
Seitenlängen a und b die Anzahl der Gitterpunkte im Inneren verdoppeln
(diese Überlegungen lassen sich unabhängig davon anstellen, ob man
tatsächlich ein Dreieck mit einer gitterpunktfreien Hypotenuse gefunden hat,
die beiden Katheten dürften hierfür keine gemeinsamen Teiler besitzen).
Im vorliegenden Beispiel (rechts) erhält man dadurch 11 Gitterpunktreihen
und 4 Gitterpunktspalten und damit 11*4=44 Gitterpunkte innerhalb des
Rechtecks.
Innerhalb des Dreiecks sind es dann nur die Hälfte, also 22 Gitterpunkte.

Verallgemeinerung:
Übertragung auf den allgemeinen Fall mit den Seitenlängen a und b (natürlich immer noch
vorausgesetzt es befinden sich keine Gitterpunkte auf der Hypotenuse):
Man findet innerhalb eines solchen Rechtecks (b – 1) Gitterpunktreihen und (a – 1) Gitterpunktspalten,
also insgesamt (a – 1)\cdot (b – 1) Gitterpunkte.
Innerhalb des zugehörigen rechtwinkligen Dreiecks findet man dann 

I(a,b) = \frac{(a-1)\cdot (b-1)}{2}  Gitterpunkte.

Reflexion: 
Überprüfung der beiden Formeln am einfachen Einführungsbeispiel:
R(3,4) = 3 + 4 + 1 = 8. Das stimmt mit den gezählten Punkten überein.
I(3,4) = \frac{2\cdot 3}{2}= 3. Das stimmt ebenfalls mit den gezählten Kreuzen überein.