Änderungen von Dokument Lösung Gitterpunkte

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -25,36 +25,37 @@
25	25
26	26	//Durchführung: //
27	27
28		-Beispiel: Beim Dreieck oben, sind die Katheten {{formula}} 3 {{/formula}} und {{formula}} 4 {{/formula}} LE lang, man findet durch Abzählen {{formula}} 8 {{/formula}} Gitterpunkte auf dem Rand, also {{formula}} R(3,4) = 8{{/formula}} und 3 Gitterpunkte im Inneren, also {{formula}} I(3,4) = 3{{/formula}}.
	28	+Beispiel: Beim Dreieck oben, sind die Katheten 3 und 4 LE lang, man findet durch Abzählen 8 Gitterpunkte auf dem Rand, also {{formula}} R(3,4) = 8{{/formula}} und 3 Gitterpunkte im Inneren, also {{formula}} I(3,4) = 3{{/formula}}.
29	29
30	30	Für weitere Überlegungen können weitere Skizzen herangezogen werden, z.B. für {{formula}} a = 5{{/formula}} und {{formula}} b = 12{{/formula}} (müssen aber nicht, die Argumentation lässt sich auch am Eingangsbeispiel nachvollziehen)
31	31
32	32	**Randpunkte:**
33	33
34		-[[image:Gitterpunkte Dreieck 3.PNG||width="120" style="float: left"]]
	34	+[[image:Gitterpunkte Dreieck 3.PNG||width="140" style="float: left"]]
35	35
36	36	Auf der Längsseite liegen 13 Punkte (bei einer Kathetenlänge von 12 LE). Auf
37	37	der Breitseite liegen 6 Punkte (bei einer Kathetenlänge von 5 LE).
38	38	Der gemeinsame Eckpunkt wurde doppelt gezählt.
39	39	Daher sind es insgesamt 13 + 6 – 1 = 18 Punkte.
40		-Somit ist R(5,12) = 18
41		-Verallgemeinerung:
	40	+Somit ist {{formula}} R(5,12) = 18 {{/formula}}
	41	+
	42	+**Verallgemeinerung:**
42	42	Allgemein erkennt man leicht:
43		-a + 1 Gitterpunkte liegen auf der Kathete der Länge a.
44		-b + 1 Gitterpunkte liegen auf Kathete der Länge b.
	44	+{{formula}}a + 1{{/formula}} Gitterpunkte liegen auf der Kathete der Länge {{formula}} a{{/formula}}.
	45	+{{formula}} b + 1{{/formula}} Gitterpunkte liegen auf Kathete der Länge {{formula}} b{{/formula}}.
45	45	Der gemeinsame Eckpunkt wurde doppelt gezählt.
46		-Es gilt also allgemein: R(a,b) = (a + 1) + (b + 1) – 1 = a + b + 1
	47	+Es gilt also allgemein: {{formula}} R(a,b) = (a + 1) + (b + 1) – 1 = a + b + 1{{/formula}}
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51		-Punkte im Inneren:
52		-[[image:Gitterpunkte Dreieck 4.PNG||width="120" style="float: right"]]
53		-Die Kreuze innen lassen sich im Beispiel abzählen: I(5,12) = 22.
	52	+**Punkte im Inneren:**
	53	+Die Kreuze innen lassen sich im Beispiel abzählen: {{formula}}I(5,12) = 22{{/formula}}.
54	54	Abzählen ist für den allgemeinen Fall nicht zielführend,hierfür muss ein Schema gefunden werden.
	55	+[[image:Gitterpunkte Dreieck 4.PNG||width="140" style="float: left"]]
55	55	Dadurch, dass keine Gitterpunkte auf der Hypotenuse des Dreiecks liegen,
56	56	lässt sich durch Erweiterung des Dreiecks auf ein Rechteck mit den
57		-Seitenlängen a und b die Anzahl der Gitterpunkte im Inneren verdoppeln
	58	+Seitenlängen {{formula}}a{{/formula}} und {{formula}}b{{/formula}} die Anzahl der Gitterpunkte im Inneren verdoppeln
58	58	(diese Überlegungen lassen sich unabhängig davon anstellen, ob man
59	59	tatsächlich ein Dreieck mit einer gitterpunktfreien Hypotenuse gefunden hat,
60	60	die beiden Katheten dürften hierfür keine gemeinsamen Teiler besitzen).