Änderungen von Dokument Lösung Gitterpunkte

Zusammenfassung

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -31,7 +31,7 @@
31	31
32	32	**Randpunkte:**
33	33
34		-[[image:Gitterpunkte Dreieck 3.PNG||width="120" style="float: left"]]
	34	+[[image:Gitterpunkte Dreieck 3.PNG||width="140" style="float: left"]]
35	35
36	36	Auf der Längsseite liegen 13 Punkte (bei einer Kathetenlänge von 12 LE). Auf
37	37	der Breitseite liegen 6 Punkte (bei einer Kathetenlänge von 5 LE).
...	...	@@ -41,7 +41,7 @@
41	41
42	42	**Verallgemeinerung:**
43	43	Allgemein erkennt man leicht:
44		-{{formula}}a + 1{{/formula}} Gitterpunkte liegen auf der Kathete der Länge {{formula}}\displaystyle a{{/formula}}.
	44	+{{formula}}a + 1{{/formula}} Gitterpunkte liegen auf der Kathete der Länge {{formula}} a{{/formula}}.
45	45	{{formula}} b + 1{{/formula}} Gitterpunkte liegen auf Kathete der Länge {{formula}} b{{/formula}}.
46	46	Der gemeinsame Eckpunkt wurde doppelt gezählt.
47	47	Es gilt also allgemein: {{formula}} R(a,b) = (a + 1) + (b + 1) – 1 = a + b + 1{{/formula}}
...	...	@@ -49,13 +49,13 @@
49	49
50	50
51	51
52		-Punkte im Inneren:
53		-[[image:Gitterpunkte Dreieck 4.PNG||width="120" style="float: left"]]
54		-Die Kreuze innen lassen sich im Beispiel abzählen: I(5,12) = 22.
	52	+**Punkte im Inneren:**
	53	+Die Kreuze innen lassen sich im Beispiel abzählen: {{formula}}I(5,12) = 22{{/formula}}.
55	55	Abzählen ist für den allgemeinen Fall nicht zielführend,hierfür muss ein Schema gefunden werden.
	55	+[[image:Gitterpunkte Dreieck 4.PNG||width="140" style="float: left"]]
56	56	Dadurch, dass keine Gitterpunkte auf der Hypotenuse des Dreiecks liegen,
57	57	lässt sich durch Erweiterung des Dreiecks auf ein Rechteck mit den
58		-Seitenlängen a und b die Anzahl der Gitterpunkte im Inneren verdoppeln
	58	+Seitenlängen {{formula}}a{{/formula}} und {{formula}}b{{/formula}} die Anzahl der Gitterpunkte im Inneren verdoppeln
59	59	(diese Überlegungen lassen sich unabhängig davon anstellen, ob man
60	60	tatsächlich ein Dreieck mit einer gitterpunktfreien Hypotenuse gefunden hat,
61	61	die beiden Katheten dürften hierfür keine gemeinsamen Teiler besitzen).
...	...	@@ -64,3 +64,18 @@
64	64	Rechtecks.
65	65	Innerhalb des Dreiecks sind es dann nur die Hälfte, also 22 Gitterpunkte.
66	66
	67	+
	68	+**Verallgemeinerung:**
	69	+Übertragung auf den allgemeinen Fall mit den Seitenlängen a und b (natürlich immer noch
	70	+vorausgesetzt es befinden sich keine Gitterpunkte auf der Hypotenuse):
	71	+Man findet innerhalb eines solchen Rechtecks {{formula}}(b – 1){{/formula}} Gitterpunktreihen und {{formula}}(a – 1){{/formula}} Gitterpunktspalten,
	72	+also insgesamt {{formula}}(a – 1)\cdot (b – 1){{/formula}} Gitterpunkte.
	73	+Innerhalb des zugehörigen rechtwinkligen Dreiecks findet man dann
	74	+
	75	+{{formula}}I(a,b) = \frac{(a−1)\cdot (b−1)}{2} {{/formula}} Gitterpunkte.
	76	+
	77	+//Reflexion: //
	78	+Überprüfung der beiden Formeln am einfachen Einführungsbeispiel:
	79	+{{formula}}R(3,4) = 3 + 4 + 1 = 8{{/formula}}. Das stimmt mit den gezählten Punkten überein.
	80	+{{formula}}I(3,4) = \frac{2\cdot 3}{2}= 3{{formula}}. Das stimmt ebenfalls mit den gezählten Kreuzen überein.
	81	+