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Wiki-Quellcode von Lösung Gitterpunkte

Version 10.1 von akukin am 2023/11/27 19:07
Verstecke letzte Bearbeiter
akukin 7.1 1 //Analyse: //
akukin 1.1 2
akukin 7.1 3 [[image:Gitterpunkte Dreieck 1.PNG||width="100" style="float: left"]]
akukin 1.1 4 Informative Skizze/n:
akukin 7.1 5
akukin 1.1 6 So könnte ein mögliches Dreieck aussehen. Es ist rechtwinklig und so platziert, dass
7 die Eckpunkte auf Gitterpunkten liegen. Auf der Hypotenuse liegt kein Gitterpunkt.
akukin 7.1 8
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13 [[image:Gitterpunkte Dreieck 2.PNG||width="100" style="float: left"]]
14 Hier sind die Gitterpunkte auf dem Rand des Dreiecks mit Kreisen, die Gitterpunkte im Inneren des Dreiecks mit Kreuzen gekennzeichnet.
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22 //Festlegung der Variablen: //
akukin 8.1 23 {{formula}} R(a,b) {{/formula}} steht für die Anzahl der Randpunkte bei Kathetenlängen {{formula}} a {{/formula}} und {{formula}} b {{/formula}}.
akukin 7.1 24 {{formula}} I(a,b){{/formula}} steht für die Anzahl Gitterpunkte im Inneren bei Kathetenlängen {{formula}} a {{/formula}} und {{formula}} b{{/formula}} .
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26 //Durchführung: //
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akukin 9.1 28 Beispiel: Beim Dreieck oben, sind die Katheten 3 und 4 LE lang, man findet durch Abzählen 8 Gitterpunkte auf dem Rand, also {{formula}} R(3,4) = 8{{/formula}} und 3 Gitterpunkte im Inneren, also {{formula}} I(3,4) = 3{{/formula}}.
akukin 7.1 29
30 Für weitere Überlegungen können weitere Skizzen herangezogen werden, z.B. für {{formula}} a = 5{{/formula}} und {{formula}} b = 12{{/formula}} (müssen aber nicht, die Argumentation lässt sich auch am Eingangsbeispiel nachvollziehen)
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32 **Randpunkte:**
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akukin 10.1 34 [[image:Gitterpunkte Dreieck 3.PNG||width="140" style="float: left"]]
akukin 7.1 35
36 Auf der Längsseite liegen 13 Punkte (bei einer Kathetenlänge von 12 LE). Auf
37 der Breitseite liegen 6 Punkte (bei einer Kathetenlänge von 5 LE).
38 Der gemeinsame Eckpunkt wurde doppelt gezählt.
39 Daher sind es insgesamt 13 + 6 – 1 = 18 Punkte.
akukin 9.1 40 Somit ist {{formula}} R(5,12) = 18 {{/formula}}
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42 **Verallgemeinerung:**
akukin 7.1 43 Allgemein erkennt man leicht:
akukin 10.1 44 {{formula}}a + 1{{/formula}} Gitterpunkte liegen auf der Kathete der Länge {{formula}} a{{/formula}}.
akukin 9.1 45 {{formula}} b + 1{{/formula}} Gitterpunkte liegen auf Kathete der Länge {{formula}} b{{/formula}}.
akukin 7.1 46 Der gemeinsame Eckpunkt wurde doppelt gezählt.
akukin 9.1 47 Es gilt also allgemein: {{formula}} R(a,b) = (a + 1) + (b + 1) – 1 = a + b + 1{{/formula}}
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akukin 10.1 52 **Punkte im Inneren:**
53 Die Kreuze innen lassen sich im Beispiel abzählen: {{formula}}I(5,12) = 22{{/formula}}.
akukin 7.1 54 Abzählen ist für den allgemeinen Fall nicht zielführend,hierfür muss ein Schema gefunden werden.
akukin 10.1 55 [[image:Gitterpunkte Dreieck 4.PNG||width="140" style="float: left"]]
akukin 7.1 56 Dadurch, dass keine Gitterpunkte auf der Hypotenuse des Dreiecks liegen,
57 lässt sich durch Erweiterung des Dreiecks auf ein Rechteck mit den
akukin 10.1 58 Seitenlängen {{formula}}a{{/formula}} und {{formula}}b{{/formula}} die Anzahl der Gitterpunkte im Inneren verdoppeln
akukin 7.1 59 (diese Überlegungen lassen sich unabhängig davon anstellen, ob man
60 tatsächlich ein Dreieck mit einer gitterpunktfreien Hypotenuse gefunden hat,
61 die beiden Katheten dürften hierfür keine gemeinsamen Teiler besitzen).
62 Im vorliegenden Beispiel (rechts) erhält man dadurch 11 Gitterpunktreihen
63 und 4 Gitterpunktspalten und damit 11*4=44 Gitterpunkte innerhalb des
64 Rechtecks.
65 Innerhalb des Dreiecks sind es dann nur die Hälfte, also 22 Gitterpunkte.
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