Änderungen von Dokument Lösung Parabel und Gerade

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1	1	{{formula}}f(x)=(x+2)^2-3{{/formula}}
2	2	a) Bei dem Funktionsgraphen handelt es sich um eine verschobene Normalparabel mit Scheitelpunkt {{formula}}S(-2|-3){{/formula}}.
3	3
4		-Ein geeignetes Intervall wäre zum Beispiel {{formula}}-5 \leq x \leq 1 {{/formula}} (man könnte auch ein anderes Intervall nehmen doch mit Blick auf Teilaufgabe c) ist es sinnvoll, wenn der Punkt {{formula}}P_2(1|6) {{/formula}} in der Skizze enthalten ist).
	4	+Ein geeignetes Intervall wäre zum Beispiel {{formula}}-5 \leq x \leq 1 {{/formula}} (man könnte auch ein anderes Intervall nehmen doch mit Blick auf Teilaufgabe c) ist es Sinnvoll, wenn der Punkt {{formula}}P_2(1|6) {{/formula}} in der Skizze enthalten ist).
5	5
6		-[[image:Graph(x+2)hoch2-3.png||width="200" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
7	7
8		-b) {{formula}}f(-3)=(-3+2)^2-3=-2{{/formula}}
9		- {{formula}}f(1)=(1+2)^2-3=6{{/formula}}
	7	+[[image:Graph(x+2)hoch2-3.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
10	10
11		-c) [[image:ParabelmitGerade.png||width="200" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
12		-
13		-d) Die Steigung lässt sich mit Hilfe eines Steigungsdreieckes (bzw. über {{formula}}m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}{{/formula}}) bestimmen. Dabei eignet es sich, für das Steigungsdreieck die Punkte {{formula}}P_1{{/formula}} und {{formula}}P_2{{/formula}} zu wählen, da diese bekannt sind und so kein Fehler beim Ablesen entstehen kann:
14		-
15		-{{formula}}m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{6+2}{1+3}=\frac{8}{4}=2{{/formula}}
16		-
17		-Einsetzen von {{formula}}m=2{{/formula}} und {{formula}}P_2(1|6){{/formula}} in {{formula}}y=mx+b{{/formula}}:
18		-
19		-{{formula}}
20		-\begin{align}
21		-6 &= 2\cdot 1+b \quad \mid -2 \\
22		-4 &= b
23		-\end{align}
24		-{{/formula}}
25		-
26		-Somit lautet die Gleichung der Geraden
27		-{{formula}}g: y=2x+4 \quad (g(x)=2x+4){{/formula}}
28		-
29		-e)
30		-
31		-{{formula}}
32		-\begin{align}
33		-2x+4 &> 0 \quad \mid -4 \\
34		-2x &> 4 \quad \mid :2 \\
35		-x &> 2
36		-\end{align}
37		-{{/formula}}
38		-
39		-Für {{formula}}x>2{{/formula}} ({{formula}}x \in ]2;\infty[{{/formula}}) verläuft die Gerade {{formula}}g{{/formula}} oberhalb der x-Achse.
40		-
41		-f) Da {{formula}}h{{/formula}} senkrecht auf {{formula}}g{{/formula}} steht, gilt für deren Steigungen {{formula}}m_h\cdot m_g =-1{{/formula}}. Mit {{formula}}m_g=2{{/formula}} ergibt sich:
42		-
43		-{{formula}}
44		-\begin{align}
45		-m_h\cdot m_g &=-1 \\
46		-m_h\cdot 2 &= -1 \quad \mid :2\\
47		-m_h &= -\frac{1}{2}
48		-\end{align}
49		-{{/formula}}
50		-
51		-Somit lautet die Geradengleichung {{formula}}h(x)=-\frac{1}{2}x+b{{/formula}}. Da {{formula}}h{{/formula}} einen gemeinsamen Punkt mit {{formula}}f{{/formula}} und {{formula}}g{{/formula}} haben soll, setzen wir {{formula}}f{{/formula}} und {{formula}}g{{/formula}} gleich, um deren Schnittpunkt(e) rauszubekommen, womit sich dann {{formula}}b{{/formula}} bestimmen lässt.
52		-
53		-
54		-{{formula}}
55		-\begin{align}
56		-f(x) &= g(x) \\
57		-(x+2)^2-3 &= 2x+4\\
58		-x^2+4x+4-3 &= 2x+4 &&\mid -2x-4\\
59		-x^2+2x-3 &= 0 &&\mid \text{MNF (abc-Formel)}
60		-\end{align}
61		-{{/formula}}
62		-
63		-{{formula}}
64		-\begin{align}
65		-x_{1,2}&=\frac{-2\pm \sqrt{4-4\cdot 1\cdot (-3)}}{2} \\
66		-x_{1,2}&=\frac{-2\pm 4}{2} \\
67		-x_1&=-3; \ x_2=1
68		-\end{align}
69		-{{/formula}}
70		-
71		-Einsetzen der Lösungen {{formula}}x_1=-3{{/formula}} und {{formula}}x_2=1{{/formula}} in {{formula}}f(x){{/formula}} oder {{formula}}g(x){{/formula}} liefert die beiden y-Wert {{formula}}y_1=-2{{/formula}} und {{formula}}y_2=6{{/formula}} und somit die Schnittpunkte {{formula}}S_1(-3|-2){{/formula}} und {{formula}}S_2(1|6){{/formula}}.
72		-
73		-Durch Einsetzen der Schnittpunkte in {{formula}}h(x)=-\frac{1}{2}x+b{{/formula}} lässt sich nun {{formula}}b{{/formula}} bestimmen:
74		-
75		-{{formula}}
76		-\begin{align}
77		--2&=-\frac{1}{2}\cdot (-3)+b_1 \quad \mid -\frac{3}{2} \\
78		--\frac{7}{2}&=b_1
79		-\end{align}
80		-{{/formula}}
81		-
82		-Somit ist {{formula}}h_1(x)=-\frac{1}{2}x-\frac{7}{2}{{/formula}}. Ebenso berechnet sich mit {{formula}}S_2(1|6){{/formula}}:
83		-
84		-{{formula}}
85		-\begin{align}
86		-6&=-\frac{1}{2}\cdot 1+b_2 \quad \mid +\frac{1}{2} \\
87		-\frac{13}{2}&=b_2
88		-\end{align}
89		-{{/formula}}
90		-
91		-{{formula}}h_2(x)=-\frac{1}{2}x+\frac{13}{2}{{/formula}}.
92		-
93		-
94		-//Hinweis:// Da in der Aufgabenstellung nur nach dem Funktionsterm einer Geraden gefragt war, reicht es, wenn man einer der beiden Geraden bestimmt.
95		-