Lösung Parabel und Gerade

{{formula}}f(x)=(x+2)^2-3{{/formula}}

a) Bei dem Funktionsgraphen handelt es sich um eine verschobene Normalparabel mit Scheitelpunkt {{formula}}S(-2|-3){{/formula}}.

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Ein geeignetes Intervall wäre zum Beispiel {{formula}}-5 \leq x \leq 1 {{/formula}} (man könnte auch ein anderes Intervall nehmen doch mit Blick auf Teilaufgabe c) ist es sinnvoll, wenn der Punkt {{formula}}P_2(1|6) {{/formula}} in der Skizze enthalten ist).

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[[image:Graph(x+2)hoch2-3.png||width="200" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]

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b) {{formula}}f(-3)=(-3+2)^2-3=-2{{/formula}}

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{{formula}}f(1)=(1+2)^2-3=6{{/formula}}

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c) [[image:ParabelmitGerade.png||width="200" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]

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d) Die Steigung lässt sich mit Hilfe eines Steigungsdreieckes (bzw. über {{formula}}m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}{{/formula}}) bestimmen. Dabei eignet es sich, für das Steigungsdreieck die Punkte {{formula}}P_1{{/formula}} und {{formula}}P_2{{/formula}} zu wählen, da diese bekannt sind und so kein Fehler beim Ablesen entstehen kann:

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{{formula}}m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{6+2}{1+3}=\frac{8}{4}=2{{/formula}}

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Einsetzen von {{formula}}m=2{{/formula}} und {{formula}}P_2(1|6){{/formula}} in {{formula}}y=mx+b{{/formula}}:

\begin{align}

6 &= 2\cdot 1+b \quad \mid -2 \\

4 &= b

\end{align}

Somit lautet die Gleichung der Geraden

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{{formula}}g: y=2x+4 \quad (g(x)=2x+4){{/formula}}

e)

\begin{align}

2x+4 &> 0 \quad \mid -4 \\

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2x &> 4 \quad \mid :2 \\

x &> 2

\end{align}

Für {{formula}}x>2{{/formula}} ({{formula}}x \in ]2;\infty[{{/formula}}) verläuft die Gerade {{formula}}g{{/formula}} oberhalb der x-Achse.

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f) Da {{formula}}h{{/formula}} senkrecht auf {{formula}}g{{/formula}} steht, gilt für deren Steigungen {{formula}}m_h\cdot m_g =-1{{/formula}}. Mit {{formula}}m_g=2{{/formula}} ergibt sich:

\begin{align}

m_h\cdot m_g &=-1 \\

m_h\cdot 2 &= -1 \quad \mid :2\\

m_h &= -\frac{1}{2}

\end{align}

Somit lautet die Geradengleichung {{formula}}h(x)=-\frac{1}{2}x+b{{/formula}}. Da {{formula}}h{{/formula}} einen gemeinsamen Punkt mit {{formula}}f{{/formula}} und {{formula}}g{{/formula}} haben soll, setzen wir {{formula}}f{{/formula}} und {{formula}}g{{/formula}} gleich, um deren Schnittpunkt(e) rauszubekommen, womit sich dann {{formula}}b{{/formula}} bestimmen lässt.

\begin{align}

f(x) &= g(x) \\

(x+2)^2-3 &= 2x+4\\

x^2+4x+4-3 &= 2x+4 &&\mid -2x-4\\

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x^2+2x-3 &= 0 &&\mid \text{MNF (abc-Formel)}

\end{align}

\begin{align}

x_{1,2}&=\frac{-2\pm \sqrt{4-4\cdot 1\cdot (-3)}}{2} \\

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x_{1,2}&=\frac{-2\pm 4}{2} \\

x_1&=-3; \ x_2=1

\end{align}

Einsetzen der Lösungen {{formula}}x_1=-3{{/formula}} und {{formula}}x_2=1{{/formula}} in {{formula}}f(x){{/formula}} oder {{formula}}g(x){{/formula}} liefert die beiden y-Wert {{formula}}y_1=-2{{/formula}} und {{formula}}y_2=6{{/formula}} und somit die Schnittpunkte {{formula}}S_1(-3|-2){{/formula}} und {{formula}}S_2(1|6){{/formula}}.

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Durch Einsetzen der Schnittpunkte in {{formula}}h(x)=-\frac{1}{2}x+b{{/formula}} lässt sich nun {{formula}}b{{/formula}} bestimmen:

\begin{align}

-2&=-\frac{1}{2}\cdot (-3)+b_1 \quad \mid -\frac{3}{2} \\

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-\frac{7}{2}&=b_1

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