Wiki-Quellcode von Lösung Pythagoreisches Tripel
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| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
| 1 | __Erwartungshorizont:__ | ||
| 2 | |||
| 3 | //Analyse: // | ||
| 4 | Es gibt rechtwinklige Dreiecke, in denen beide Katheten und die Hypotenuse | ||
| 5 | ganzzahlige Werte besitzen. Diese heißen pythagoräische Tripel. Es gibt nur ein | ||
| 6 | einziges pythagoräisches Tripel, bei dem eine der drei Seitenlängen den Wert 4 | ||
| 7 | besitzt. Dies soll nachgewiesen werden. | ||
| 8 | |||
| 9 | Durchführung: | ||
| 10 | (Skizze in Verbindung mit) systematischen Probieren: | ||
| 11 | Angenommen die **Hypotenuse** besitzt den Wert 4. | ||
| 12 | Die beiden Katheten müssen dann auf jeden Fall kleiner als 4 sein, es könnten alle möglichen | ||
| 13 | Kombinationen der Seitenlängen 1, 2 und 3 ausprobiert werden und überprüft werden, ob die | ||
| 14 | zugehörige Hypotenuse die Länge 4 besitzt (über den Satz des Pythagoras: a^^2 + b^^2 = 4^^2 = 16) | ||
| 15 | |||
| 16 | (% style="width: min-content; white-space: nowrap" class="border" %) | ||
| 17 | |a|b|a^^2|b^^2|c^^2 | ||
| 18 | |1|1|1|1|2 | ||
| 19 | |1|2|1|4|5 | ||
| 20 | |1|3|1|9|10 | ||
| 21 | |2|3|4|9|13 | ||
| 22 | |3|3|9|9|18 | ||
| 23 | |||
| 24 | **Keine Kombination der Seitenlängen 1, 2 und 3 gehört zu einem pythagoreischen Tripel.** | ||
| 25 | |||
| 26 | D.h. eine der beiden **Katheten** muss den Wert 4 besitzen. Aus dem Satz des Pythagoras folgt | ||
| 27 | 4^^2+b^^2 = c^^2 bzw. c^^2 – b^^^2 = 16. Sind alle Seiten ganzzahlig, so suchen wir zwei ganzzahlige Quadratzahlen,deren Differenz 16 ergibt. Systematisches Probieren zeigt | ||
| 28 | |||
| 29 | (% style="width: min-content; white-space: nowrap" class="border" %) | ||
| 30 | |c|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10 | ||
| 31 | |c^^2|1|4|9|16|25|36|49|64|81|100 | ||
| 32 | |c^^2-b^^2| |(% style="color:red" %)4-1=3|(% style="color:red" %)9-4=5|(% style="color:red" %)16-9=7|(% style="color:red" %)25-16=9|(% style="color:red" %)36-25=11|(% style="color:red" %)49-36=13|(% style="color:red" %)64-49=15|(% style="color:red" %)81-64=17|(% style="color:red" %)Noch größer | ||
| 33 | |||
| 34 | |||
| 35 | Bildet man die Differenz aus zwei Quadratzahlen (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...) so entsteht niemals | ||
| 36 | der Wert 4² = 16, außer im Fall 25 – 9 = 16. | ||
| 37 | |||
| 38 | //Reflexion:// | ||
| 39 | Es gibt tatsächlich nur ein einziges pythagoreisches Tripel, bei dem eine Seitenlänge den Wert 4 | ||
| 40 | besitzt, nämlich a = 3, b = 4 und c = 5. |