Wiki-Quellcode von Lösung Pythagoreisches Tripel
Zuletzt geändert von akukin am 2023/12/16 12:19
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| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
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1.1 | 1 | __Erwartungshorizont:__ |
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14.1 | 3 | [[image:Dreieck Pythagoras.PNG|| style="float: right" width="120"]] //Analyse: // |
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1.1 | 4 | Es gibt rechtwinklige Dreiecke, in denen beide Katheten und die Hypotenuse |
| 5 | ganzzahlige Werte besitzen. Diese heißen pythagoräische Tripel. Es gibt nur ein | ||
| 6 | einziges pythagoräisches Tripel, bei dem eine der drei Seitenlängen den Wert 4 | ||
| 7 | besitzt. Dies soll nachgewiesen werden. | ||
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4.1 | 9 | //Durchführung: // |
| 10 | (__Skizze__ in Verbindung mit) __systematischen Probieren__: | ||
| 11 | |||
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1.1 | 12 | Angenommen die **Hypotenuse** besitzt den Wert 4. |
| 13 | Die beiden Katheten müssen dann auf jeden Fall kleiner als 4 sein, es könnten alle möglichen | ||
| 14 | Kombinationen der Seitenlängen 1, 2 und 3 ausprobiert werden und überprüft werden, ob die | ||
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10.1 | 15 | zugehörige Hypotenuse die Länge 4 besitzt (über den Satz des Pythagoras: a^^2^^ + b^^2^^ = 4^^2^^ = 16) |
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1.1 | 16 | |
| 17 | (% style="width: min-content; white-space: nowrap" class="border" %) | ||
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2.1 | 18 | |a|b|a^^2|b^^2|c^^2 |
| 19 | |1|1|1|1|2 | ||
| 20 | |1|2|1|4|5 | ||
| 21 | |1|3|1|9|10 | ||
| 22 | |2|3|4|9|13 | ||
| 23 | |3|3|9|9|18 | ||
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1.1 | 24 | |
| 25 | **Keine Kombination der Seitenlängen 1, 2 und 3 gehört zu einem pythagoreischen Tripel.** | ||
| 26 | |||
| 27 | D.h. eine der beiden **Katheten** muss den Wert 4 besitzen. Aus dem Satz des Pythagoras folgt | ||
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10.1 | 28 | 4^^2^^ +b^^2^^ = c^^2^^ bzw. c^^2^^ – b^^2^^ = 16. Sind alle Seiten ganzzahlig, so suchen wir zwei ganzzahlige Quadratzahlen,deren Differenz 16 ergibt. Systematisches Probieren zeigt |
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1.1 | 29 | |
| 30 | (% style="width: min-content; white-space: nowrap" class="border" %) | ||
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3.1 | 31 | |c|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10 |
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10.1 | 32 | |c^^2^^|1|4|9|16|25|36|49|64|81|100 |
| 33 | |c^^2^^ - b^^2^^| |(% style="color:red" %)4-1=3|(% style="color:red" %)9-4=5|(% style="color:red" %)16-9=7|(% style="color:red" %)25-16=9|(% style="color:red" %)36-25=11|(% style="color:red" %)49-36=13|(% style="color:red" %)64-49=15|(% style="color:red" %)81-64=17|(% style="color:red" %)Noch größer | ||
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4.1 | 34 | | | | |(% style="color:green" %)9-1=8|(% style="color:green" %)16-4=12|(% style="color:green" %)25-9=16|(% style="color:green" %)36-16=20|(% style="color:green" %)Noch größer| | | |
| 35 | | | | | |(% style="color:blue" %)16-1=15|(% style="color:blue" %)25-4=21|(% style="color:blue" %)Noch größer| | | | | ||
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5.1 | 36 | | | | | | |(% style="color:orange" %)25-1=4|(% style="color:orange" %)Noch größer| | | | |
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1.1 | 37 | |
| 38 | |||
| 39 | Bildet man die Differenz aus zwei Quadratzahlen (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...) so entsteht niemals | ||
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10.1 | 40 | der Wert 4^^2^^ = 16, außer im Fall 25 – 9 = 16. |
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1.1 | 41 | |
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11.1 | 42 | //Reflexion: // |
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1.1 | 43 | Es gibt tatsächlich nur ein einziges pythagoreisches Tripel, bei dem eine Seitenlänge den Wert 4 |
| 44 | besitzt, nämlich a = 3, b = 4 und c = 5. | ||
| 45 |