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BPE 2 Einheitsübergreifend

Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2025/01/12 20:03
Inhalt

  1. Fülle in folgenden Darstellungsformen einer Parabel die Lücken.
    Arithmagon Potenzfunktionen Formen.svg

  2. Nenne die Werte der charakteristischen Größen der Parabel:

    1. Lage der Parabel Achsenabschnitt Schnitt-, Scheitelpunkt
      y-Achse c=\qquad S_y(\qquad|\qquad)
      x-Achse  N_1(\qquad|\qquad),\quad N_2(\qquad|\qquad)
      Symmetrieachse x= 
      Scheitel x_S= S(\qquad|\qquad)
    2. Kovariation des quadratischen Zusammenhangs  Parameterwert bzw. Beschreibung
      Monotonie 
      Steigung an der Stelle x=0 b=
      Krümmung a=

#problemlösen

AFB   IIKompetenzen   K2 K4 K5Bearbeitungszeit   10 min
Quelle   Martin RathgebLizenz   CC BY-SA

In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei S(x_S|y_S) der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.

Scheitelform y=a(x-x_S)^2 + y_S
Hauptform y=ax^2+bx+c
Produktform y=a(x-x_1)(x-x_2)
Gestreckte Normalform }y=a(x^2+px+q)
  1. Formen untersuchen. Bestimme für jede Gleichungsform, welche charakteristischen Größen der Parabel sich direkt ablesen lassen; siehe hierzu das vorausgegangene Arithmagon.
  2. Formeln entdecken. Untersuche die Gleichungsformen im Hinblick auf Zusammenhänge; instruktiv ist der Koeffizientenvergleich mit der "Gestreckten Normalform".

  3. Formeln untersuchen. Folgende Tabelle gibt einen Überblick über Beziehungen zwischen den Parametern, wobei die Kurz-Bezeichnung }y_S^*=\frac{y_S}{a} verwendet wurde. Welche Zusammenhänge zwischen den tabellierten Beziehungen lassen sich schnell erkennen?

    Nr. Von Zu Parameter 1 Parameter 2
    1 Scheitelform Gestreckte Normalform p = -2x_S q = x_S^2 + y_S^*
    2 Gestreckte Normalform Scheitelform x_S = -\frac{p}{2} y_S^* = -\frac{p^2}{4} + q
    3 Scheitelform Produktform x_1 = x_S - \sqrt{-y_S^*} x_2 = x_S + \sqrt{-y_S^*}
    4 Gestreckte Normalform Produktform x_1 = -\frac{p}{2} + \sqrt{\frac{p^2}{4} - q} x_2 = -\frac{p}{2} - \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}
    5 Produktform Gestreckte Normalform p = -(x_1 + x_2) q = x_1 x_2
    6 Produktform Scheitelform x_S = \frac{x_1 + x_2}{2} y_S^* = -\frac{(x_2 - x_1)^2}{4}

  4. Formeln anwenden. Ergänze die Leerstellen in folgender Tabelle.

    Nr. Gestreckte Normalform Scheitelform Produktform
    1 y = x^2 - 4x + 3   
    2  y = (x - 1)^2 + 4  
    3   y = (x + 2)(x + 2)
    4 y = -(x^2 - 4x + 1)   
    5  y = -\pi(x - \pi)^2  
    6   y = -(x + 1 - \sqrt{2})(x + 1 + \sqrt{2})
    7 y = 2(x^2 + 2x + 5)   
    8  y = -\frac{3}{2}(x - 2)^2  
    9   y = \sqrt{2}(x - 2)(x - 3)
  5. Formeln begründen. Zeige einige der oben tabellierten Beziehungen zwischen den Parametern.
AFB   IIKompetenzen   K1 K5 K6Bearbeitungszeit   30 min
Quelle   Martin RathgebLizenz   CC BY-SA

Kay möchte die Laufzeit für den Weg vom Bahnhof zur Schule berechnen. Die Laufzeit wird modelliert durch die Funktion t mit t(v)= \frac{d}{v} (Geschwindigkeit v in km/min; Entfernung d in km; Laufzeit t(v) in min). Eine Messung hat ergeben, dass die Schule vom Bahnhof 5 km entfernt liegt.

  1. Erstelle die Funktion t, die die benötigte Zeit in Minuten in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit v in km/h beschreibt.
  2. Bestimme die Definitionslücke der Funktion t.
  3. Erläutere, warum es in diesem Kontext sinnvoll ist, eine Definitionslücke zu haben.
  4. Zeichne den Graphen der Funktion t und markiere die Definitionslücke.
AFB   IKompetenzen   K1 K3 K4Bearbeitungszeit   20 min
Quelle   Ute Jutt, Ronja FrankeLizenz   CC BY-SA

Gegeben sind die Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen f(x)=\sqrt{-x+1} und g(x)=-\sqrt{x+5}+3 .

  1. Gib jeweils die maximale Defintionsmenge und den zugehörigen Wertebereich an.
  2. Zeichne die Funktionsgraphen zu den Funktionen in ein gemeinsammes Koordinatensystem im Intervall [-6; +2].
  3. Bestimme die Lösungen der Wurzelgleichung f(x) = g(x) graphisch.
  4. Berechne die Lösungen und vergleiche deine berechneten Lösungen mit den graphischen Lösungen aus c).
AFB   IIKompetenzen   K4 K5Bearbeitungszeit   15 min
Quelle   Martin Stern, Niklas WunderLizenz   CC BY-SA

Nachfolgend ist die Menge freier Chlorreste in ppm (parts per million) in Schwimmbecken als Funktion der Zeit (in Stunden)
nach der Behandlung mit Chemikalien angegeben

Zeit24681012
Menge1,71,51,21,01,00,8
  1. Bestimme mit Hilfe des Taschenrechners eine Ausgleichsgerade für die gegebenen Messwerte. Notiere auch den Korrelationskoeffizienten r.
  2. Berechne mit Hilfe deiner Ausgleichsgeraden einen Näherungswert zum Zeitpunkt 7 Stunden nach dem Messbeginn.
AFB   IIKompetenzen   K3 K4 K5Bearbeitungszeit   10 min
Quelle   Universität Köln Dr.C.LangeLizenz   CC BY-SA

Die Tabelle gibt Daten aus seriösen Quellen über die Anzahl der Storchenpaare und die Einwohneranzahl in den Jahren 1930 bis 1936 in Oldenburg wieder.

Jahr1930193119321933193419351936
Anzahl der Storchenpaare132142166188240250252
Anzahl der Einwohner55400554006500067700698007230076000
  1. Bestimme die Ausgleichsgerade zwischen Storchenpaaren und Einwohnerzahlen sowie den Korrelationskoeffizienten. 
  2. Alex behauptet, dass die Störche hauptsächlich für den Einwohnerzuwachs in Oldenburg verantwortlich waren. Nimm dazu begründet Stellung und beziehe den in a) berechneten Korrelationskoeffizienten in deine Begründung mit ein. 
AFB   IIKompetenzen   K1 K3 K5Bearbeitungszeit   15 min
Quelle   Niklas WunderLizenz   CC BY-SA

Die beiden abgebildeten Gefäße werden mit Wasser gefüllt. Ist es möglich, dass bei gleichem Füllstand genau gleich viel Wasser in den Gefäßen ist?
Füllstände Gefäße.PNG

Finde gegebenenfalls diesen Füllstand und das zugehörige Wasservolumen heraus.

#problemlösen

AFB   IIIKompetenzen   K2 K5 K6Bearbeitungszeit   25 min
Quelle   ProblemlösegruppeLizenz   CC BY-SA

Graphische Transformationen gehören zu den Grundwerkzeugen der Mathematik. Neben der Verschiebung und der Streckung in Richtung einer Koordinatenachse bzw. der Spiegelung an einer Koordinatenachse gibt es eine weitere besondere Transformation, nämlich die Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden, das ist die Gerade mit der Gleichung y=x. Diese Spiegelung bewirkt den Koordinatentausch (x|y)\mapsto (y|x), d.h., die Umkehrung y\mapsto x der Zuordnung x\mapsto y.
Dazu drei Beispiele: Das Spiegelbild der positiv orientierten x-Achse (y=0, ein Funktionsgraph) ist die positiv orientierte y-Achse (x=0, kein Funktionsgraph); das Spiegelbild der positiv orientierten y-Achse wiederum ist die positiv orientierte x-Achse; das Spiegelbild der Normalparabel (y=x^2, ein Funktionsgraph) sind die beiden Wurzeläste (y=\pm \sqrt{x}) zusammengenommen (kein Funktionsgraph). Betrachten wir das dritte Beispiel genauer: Um aus der Gleichung y=x^2 rechnerisch die Gleichung y=\pm \sqrt{x} zu ermitteln, löst man zunächst die Gleichung y=x^2 nach x auf und tauscht dann in der erhaltenen Gleichung x=\pm \sqrt{y} noch die Variablen gegeneinander aus (y=\pm \sqrt{x}).

Betrachte nun die folgenden drei Gleichungen zu den nachfolgenden Funktionsgraphen: y=2x, y=(x+2)^2 und y=x^3.
Einheitsuebergreifend2.png

  1. Löse die Gleichungen jeweils nach x auf; du erhältst damit für x einen Funktionsterm x(y) in y.
  2. Führe in den in a) berechneten Termen x(y) den Variablentausch durch, zeichne die Graphen der Umkehrungen zusätzlich ins Koordinatensystem ein und untersuche, wie die Paare von Graphen zur ersten Winkelhalbierenden liegen.
  3. Die in a) berechneten Terme x(y) sind insbesondere in Monotonieintervallen von f Funktionsterme von Umkehrfunktionen f^{-1}. Untersuche die Ausdrücke f^{-1}(y), indem du f(x) für y einsetzt, und beschreibe, was dir (an der jeweiligen Vereinfachung) auffällt.
  4. Abschließend stellt sich die Frage: Weshalb der Definitionsbereich der Funktionen f (z.B. auf ein Monotonieintervall) verkleinert werden muss, um eine Umkehrfunktion zu erhalten? Begründe diese Einschränkung mit den Ergebnissen aus a) und b).
AFB   IIIKompetenzen   K4Bearbeitungszeit   12 min
Quelle   Niklas Wunder, Martin RathgebLizenz   CC BY-SA
K1K2K3K4K5K6
I101100
II212351
III010111