BPE 2 Einheitsübergreifend

Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2025/01/12 20:03

Inhalt

AFB I Weg zur Schule
AFB II Arithmagon Darstellungsformen Formen von Parabelgleichungen Potenzgleichungen lösen - graphisch und rechnerisch Lineare Regression Korrelation
AFB III Füllstände Spiegeln an der Winkelhalbierenden

Aufgabe 1 Arithmagon Darstellungsformen 𝕃

Fülle in folgenden Darstellungsformen einer Parabel die Lücken.
Nenne die Werte der charakteristischen Größen der Parabel:
1. Lage der Parabel Achsenabschnitt Schnitt-, Scheitelpunkt
  y-Achse $c=\qquad$ $S_y(\qquad|\qquad)$
  x-Achse $N_1(\qquad|\qquad),\quad N_2(\qquad|\qquad)$
  Symmetrieachse
  Scheitel $S(\qquad|\qquad)$
2. Kovariation des quadratischen Zusammenhangs Parameterwert bzw. Beschreibung
  Monotonie
  Steigung an der Stelle
  Krümmung

#problemlösen

AFB II	Kompetenzen K2 K4 K5	Bearbeitungszeit 10 min
Quelle Martin Rathgeb		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 2 Formen von Parabelgleichungen

In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei S(x_S|y_S) der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.

Scheitelform
Hauptform
Produktform
Gestreckte Normalform

Formen untersuchen. Bestimme für jede Gleichungsform, welche charakteristischen Größen der Parabel sich direkt ablesen lassen; siehe hierzu das vorausgegangene Arithmagon.
Formeln entdecken. Untersuche die Gleichungsformen im Hinblick auf Zusammenhänge; instruktiv ist der Koeffizientenvergleich mit der "Gestreckten Normalform".

Formeln untersuchen. Folgende Tabelle gibt einen Überblick über Beziehungen zwischen den Parametern, wobei die Kurz-Bezeichnung $}y_S^*=\frac{y_S}{a}$ verwendet wurde. Welche Zusammenhänge zwischen den tabellierten Beziehungen lassen sich schnell erkennen?

Nr.	Von	Zu	Parameter 1	Parameter 2
1	Scheitelform	Gestreckte Normalform
2	Gestreckte Normalform	Scheitelform	$x_S = -\frac{p}{2}$	$y_S^* = -\frac{p^2}{4} + q$
3	Scheitelform	Produktform	$x_1 = x_S - \sqrt{-y_S^*}$	$x_2 = x_S + \sqrt{-y_S^*}$
4	Gestreckte Normalform	Produktform	$x_1 = -\frac{p}{2} + \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}$	$x_2 = -\frac{p}{2} - \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}$
5	Produktform	Gestreckte Normalform
6	Produktform	Scheitelform	$x_S = \frac{x_1 + x_2}{2}$	$y_S^* = -\frac{(x_2 - x_1)^2}{4}$

Formeln anwenden. Ergänze die Leerstellen in folgender Tabelle.
Nr. Gestreckte Normalform Scheitelform Produktform
1
2
3
4
5 $y = -\pi(x - \pi)^2$
6 $y = -(x + 1 - \sqrt{2})(x + 1 + \sqrt{2})$
7
8 $y = -\frac{3}{2}(x - 2)^2$
9 $y = \sqrt{2}(x - 2)(x - 3)$
Formeln begründen. Zeige einige der oben tabellierten Beziehungen zwischen den Parametern.

AFB II	Kompetenzen K1 K5 K6	Bearbeitungszeit 30 min
Quelle Martin Rathgeb		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 3 Weg zur Schule 𝕋 𝕃

Kay möchte die Laufzeit für den Weg vom Bahnhof zur Schule berechnen. Die Laufzeit wird modelliert durch die Funktion mit $t(v)= \frac{d}{v}$ (Geschwindigkeit in km/min; Entfernung in km; Laufzeit t(v) in min). Eine Messung hat ergeben, dass die Schule vom Bahnhof 5 km entfernt liegt.

Erstelle die Funktion , die die benötigte Zeit in Minuten in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit in km/h beschreibt.
Bestimme die Definitionslücke der Funktion .
Erläutere, warum es in diesem Kontext sinnvoll ist, eine Definitionslücke zu haben.
Zeichne den Graphen der Funktion und markiere die Definitionslücke.

AFB I	Kompetenzen K1 K3 K4	Bearbeitungszeit 20 min
Quelle Ute Jutt, Ronja Franke		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 4 Potenzgleichungen lösen - graphisch und rechnerisch 𝕃

Gegeben sind die Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen $f(x)=\sqrt{-x+1}$ und $g(x)=-\sqrt{x+5}+3$ .

Gib jeweils die maximale Defintionsmenge und den zugehörigen Wertebereich an.
Zeichne die Funktionsgraphen zu den Funktionen in ein gemeinsammes Koordinatensystem im Intervall .
Bestimme die Lösungen der Wurzelgleichung graphisch.
Berechne die Lösungen und vergleiche deine berechneten Lösungen mit den graphischen Lösungen aus c).

AFB II	Kompetenzen K4 K5	Bearbeitungszeit 15 min
Quelle Martin Stern, Niklas Wunder		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 5 Lineare Regression 𝕃

Nachfolgend ist die Menge freier Chlorreste in ppm (parts per million) in Schwimmbecken als Funktion der Zeit (in Stunden)
nach der Behandlung mit Chemikalien angegeben

Zeit	2	4	6	8	10	12
Menge	1,7	1,5	1,2	1,0	1,0	0,8

Bestimme mit Hilfe des Taschenrechners eine Ausgleichsgerade für die gegebenen Messwerte. Notiere auch den Korrelationskoeffizienten r.
Berechne mit Hilfe deiner Ausgleichsgeraden einen Näherungswert zum Zeitpunkt 7 Stunden nach dem Messbeginn.

AFB II	Kompetenzen K3 K4 K5	Bearbeitungszeit 10 min
Quelle Universität Köln Dr.C.Lange		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 6 Korrelation 𝕃

Die Tabelle gibt Daten aus seriösen Quellen über die Anzahl der Storchenpaare und die Einwohneranzahl in den Jahren 1930 bis 1936 in Oldenburg wieder.

Jahr	1930	1931	1932	1933	1934	1935	1936
Anzahl der Storchenpaare	132	142	166	188	240	250	252
Anzahl der Einwohner	55400	55400	65000	67700	69800	72300	76000

Bestimme die Ausgleichsgerade zwischen Storchenpaaren und Einwohnerzahlen sowie den Korrelationskoeffizienten.
Alex behauptet, dass die Störche hauptsächlich für den Einwohnerzuwachs in Oldenburg verantwortlich waren. Nimm dazu begründet Stellung und beziehe den in a) berechneten Korrelationskoeffizienten in deine Begründung mit ein.

AFB II	Kompetenzen K1 K3 K5	Bearbeitungszeit 15 min
Quelle Niklas Wunder		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 7 Füllstände 𝕃

Die beiden abgebildeten Gefäße werden mit Wasser gefüllt. Ist es möglich, dass bei gleichem Füllstand genau gleich viel Wasser in den Gefäßen ist?
Füllstände Gefäße.PNG

Finde gegebenenfalls diesen Füllstand und das zugehörige Wasservolumen heraus.

#problemlösen

AFB III	Kompetenzen K2 K5 K6	Bearbeitungszeit 25 min
Quelle Problemlösegruppe		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 8 Spiegeln an der Winkelhalbierenden 𝕃

Graphische Transformationen gehören zu den Grundwerkzeugen der Mathematik. Neben der Verschiebung und der Streckung in Richtung einer Koordinatenachse bzw. der Spiegelung an einer Koordinatenachse gibt es eine weitere besondere Transformation, nämlich die Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden, das ist die Gerade mit der Gleichung y=x . Diese Spiegelung bewirkt den Koordinatentausch $(x|y)\mapsto (y|x)$ , d.h., die Umkehrung $y\mapsto x$ der Zuordnung $x\mapsto y$ .
Dazu drei Beispiele: Das Spiegelbild der positiv orientierten x-Achse ( y=0 , ein Funktionsgraph) ist die positiv orientierte y-Achse ( x=0 , kein Funktionsgraph); das Spiegelbild der positiv orientierten y-Achse wiederum ist die positiv orientierte x-Achse; das Spiegelbild der Normalparabel ( y=x^2 , ein Funktionsgraph) sind die beiden Wurzeläste ( $y=\pm \sqrt{x}$ ) zusammengenommen (kein Funktionsgraph). Betrachten wir das dritte Beispiel genauer: Um aus der Gleichung y=x^2 rechnerisch die Gleichung $y=\pm \sqrt{x}$ zu ermitteln, löst man zunächst die Gleichung y=x^2 nach auf und tauscht dann in der erhaltenen Gleichung $x=\pm \sqrt{y}$ noch die Variablen gegeneinander aus ( $y=\pm \sqrt{x}$ ).

Betrachte nun die folgenden drei Gleichungen zu den nachfolgenden Funktionsgraphen: y=2x , y=(x+2)^2 und y=x^3 .

Löse die Gleichungen jeweils nach auf; du erhältst damit für einen Funktionsterm in .
Führe in den in a) berechneten Termen den Variablentausch durch, zeichne die Graphen der Umkehrungen zusätzlich ins Koordinatensystem ein und untersuche, wie die Paare von Graphen zur ersten Winkelhalbierenden liegen.
Die in a) berechneten Terme sind insbesondere in Monotonieintervallen von Funktionsterme von Umkehrfunktionen $f^{-1}$ . Untersuche die Ausdrücke $f^{-1}(y)$ , indem du für einsetzt, und beschreibe, was dir (an der jeweiligen Vereinfachung) auffällt.
Abschließend stellt sich die Frage: Weshalb der Definitionsbereich der Funktionen (z.B. auf ein Monotonieintervall) verkleinert werden muss, um eine Umkehrfunktion zu erhalten? Begründe diese Einschränkung mit den Ergebnissen aus a) und b).

AFB III	Kompetenzen K4	Bearbeitungszeit 12 min
Quelle Niklas Wunder, Martin Rathgeb		Lizenz CC BY-SA

	K1	K2	K3	K4	K5	K6
I	1	0	1	1	0	0
II	2	1	2	3	5	1
III	0	1	0	1	1	1