Lösung Füllstände

Zuletzt geändert von akukin am 2024/02/02 17:50

Analyse: 
Es sind zwei gleich hohe Gefäße verschiedener Form gegeben. Sie fassen verschiedene Wasservolumina:
Der Kegel fasst ein Wasservolumen von \frac{1}{3}\pi\cdot 6^3 dm^3 \approx 226.19 dm^3 = 226,19 l
Das Dreiecksprisma fasst ein Wasservolumen von 4 \cdot 6^2 dm^3 = 144dm^3= 14 l

Gehen wir davon aus, dass wir die Gefäße nicht komplett, sondern nur teilweise auffüllen, ist es dann
möglich, das Wasser genau gleich hoch aufzufüllen und dabei dasselbe Wasservolumen innerhalb der
beiden Gefäße zu erhalten?

Es gibt verschiedene Strategien, um sich der Lösung dieses Problem anzunähern:

Durchführung:  

  1. mögliche Strategie: Systematisches Probieren/Herantasten mithilfe einer Tabelle/Wertetabelle
    Füllstände Wertetabelle.PNG
  1. Versuch mit Schrittweite 0,5 zeigt, dass die Schnittstelle (mit Volumengleichheit) zwischen 3,5 und
    4 liegen muss.
  2. Suche zwischen 3,5 und 4 mit auf 0,1 verkleinerter Schrittweite zeigt, dass die Schnittstelle
    zwischen 3,8 und 3,9 liegen muss
  3. Suche zwischen 3,8 und 3,9 mit Schrittweite 0,01 zeigt, dass bei einem Füllstand von 3,82dm das
    Wasservolumen bis zur ersten Nachkommastelle übereinstimmt (ist hier ausreichend genau)

2. mögliche Strategie: Näherungsweise graphische Lösung

Füllstände graphische Lösung.PNG

3. mögliche Strategie: Algebraisches Lösen einer Gleichung

\begin{align} &\frac{1}{3}\pi \cdot x^3 &&= 4x^2 \\ &\frac{1}{3}\pi \cdot x^3 - 4x^2 &&= 0 \\ &x^2 \cdot \Bigl(\frac{1}{3} \pi \cdot x -4\Bigl) &&= 0 \\ &\frac{1}{3} \pi \cdot x -4 &&= 0 \\ &x &&= \frac{12}{\pi} \approx 3,82 \end{align}

Reflexion/Interpretation der Lösung: 
Alle drei Strategien liefern eine Füllhöhe von ca. 3,82dm (diese Genauigkeit kann bei grafischer Lösung nicht ganz erreicht werden)
Rechnerische Kontrolle der Gleichheit der eingefüllten Wassermenge:
Kegel: \frac{1}{3} \pi \cdot 3,82^3l \approx 58,4 l
Prisma: 4\cdot 3,82^2 l \approx 58,4 l

Bei einer Füllhöhe von 3,82 dm befindet sich tatsächlich näherungsweise gleich viel Wasser in den beiden Gefäßen, nämlich ca. 58,4 Liter.