Änderungen von Dokument BPE 2 Einheitsübergreifend

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

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65	65	{{aufgabe id="Spiegeln an der Winkelhalbierenden" afb="III" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Martin Rathgeb" zeit="12" cc="BY-SA"}}
66	66	Graphische Transformationen gehören zu den Grundwerkzeugen der Mathematik. Neben der Verschiebung und der Streckung in Richtung einer Koordinatenachse bzw. der Spiegelung an einer Koordinatenachse gibt es eine weitere besondere Transformation, nämlich die //Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden//, das ist die Gerade mit der Gleichung {{formula}}y=x{{/formula}}. Diese Spiegelung bewirkt den Koordinatentausch {{formula}}(x|y)\mapsto (y|x){{/formula}}, d.h., die Umkehrung {{formula}}y\mapsto x{{/formula}} der Zuordnung {{formula}}x\mapsto y{{/formula}}.
67		-Das Spiegelbild der orientierten x-Achse ist die orientierte y-Achse und umgekehrt; das Spiegelbild der Normalparabel sind die beiden Funktionsgraphen von {{formula}}x\mapsto \pm \sqrt{x}{{/formula}}.
68		-Betrachten wir dieses Beispiel genauer, nämlich die Gleichung {{formula}}y=x^2{{/formula}}. Um daraus die Gleichung für die Umkehrung rechnerisch zu ermitteln, löst man meist zunächst nach //x// auf, also {{formula}}x=\pm \sqrt{y}{{/formula}}, und vertauscht dann noch die Variablen //x// und //y// miteinander, also {{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}}.
	67	+Dazu drei Beispiele: Das Spiegelbild der positiv orientierten x-Achse ({{formula}}y=0{{/formula}}) ist die positiv orientierte y-Achse ({{formula}}x=0{{/formula}}), die sich nicht als Funktionsgraph verstehen lässt; das Spiegelbild der positiv orientierten y-Achse wiederum ist die positiv orientierte x-Achse; das Spiegelbild der Normalparabel ({{formula}}y=x^2{{/formula}}) sind die beiden Wurzeläste ({{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}}) zusammengenommen, die sich nicht als ein Funktionsgraph verstehen lassen. Betrachten wir das dritte Beispiel genauer: Um aus der Gleichung {{formula}}y=x^2{{/formula}} rechnerisch die Gleichung {{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}} zu ermitteln, löst man zunächst die erste Gleichung nach //x// auf, {{formula}}x=\pm \sqrt{y}{{/formula}}, und tauscht dann in dieser Gleichung die Variablen //x// und //y// gegenseitig aus, also {{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}}.
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70	70	Betrachte nun die folgenden drei Gleichungen zu den nachfolgenden Graphen: {{formula}}y=2x{{/formula}}, {{formula}}y=(x+2)^2{{/formula}} und {{formula}}y=x^3{{/formula}}.
71	71	[[image:Einheitsuebergreifend2.png||width="400px"]]
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72	72
73	73	(% class="abc" %)
74	74	1. Löse die Gleichung jeweils nach //x// auf; du erhältst damit für //x// einen Funktionsterm in //y//.
75		-1. Zeichne die Graphen der Umkehrungen ins Koordinatensystem ein und untersuche, wie sie zur ersten Winkelhalbierenden liegen.
76		-1. Die in a) berechneten Terme sind die Funktionsterme der Umkehrfunktionen ({{formula}}f^{-1}{{/formula}}) der Funktionen {{formula}}f{{/formula}}. Untersuche jeweils den Ausdruck {{formula}}f^{-1}(y){{/formula}}, in dem du {{formula}}f(x){{/formula}} für //y// einsetzt und beschreibe, was dir (an der jeweiligen Vereinfachung) auffällt.
77		-1. Abschließend stellt sich die Frage: Warum muss der Definitionsbereich der Funktion //f// verkleinert werden, wenn die Umkehrfunktion berechnet wird? Begründe diese Einschränkung mit den Ergebnissen aus a) und b).
	74	+1. Zeichne die Graphen der Umkehrungen zusätzlich ins Koordinatensystem ein und untersuche, wie die Paare von Graphen zur ersten Winkelhalbierenden liegen.
	75	+1. Die in a) berechneten Terme sind die Funktionsterme von Umkehrfunktionen ({{formula}}f^{-1}{{/formula}}) von Funktionen {{formula}}f{{/formula}}. Untersuche jeweils den Ausdruck {{formula}}f^{-1}(y){{/formula}}, in dem du {{formula}}f(x){{/formula}} für //y// einsetzt und beschreibe, was dir (an der jeweiligen Vereinfachung) auffällt.
	76	+1. Abschließend stellt sich die Frage: Weshalb der Definitionsbereich der Funktionen //f// (z.B. auf ein Monotonieintervall) verkleinert werden muss, um eine Umkehrfunktion zu erhalten? Begründe diese Einschränkung mit den Ergebnissen aus a) und b).
78	78	{{/aufgabe}}
79	79
80	80	{{matrix/}}