BPE 2 Einheitsübergreifend

1  Weg zur Schule  (20 min) 𝕋  𝕃

Kay möchte die Laufzeit für den Weg vom Bahnhof zur Schule berechnen. Die Laufzeit wird modelliert durch die Funktion \(t\) mit \(t(v)= \frac{d}{v}\) (Geschwindigkeit \(v\) in km/min; Entfernung \(d\) in km; Laufzeit \(t(v)\) in min). Eine Messung hat ergeben, dass die Schule vom Bahnhof 5 km entfernt liegt.

1. Erstelle die Funktion \(t\), die die benötigte Zeit in Minuten in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit \(v\) in km/h beschreibt.
2. Bestimme die Definitionslücke der Funktion \(t\).
3. Erläutere, warum es in diesem Kontext sinnvoll ist, eine Definitionslücke zu haben.
4. Zeichne den Graphen der Funktion \(t\) und markiere die Definitionslücke.

2  Potenzgleichungen lösen - graphisch und rechnerisch  (15 min) 𝕃

Gegeben sind die Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen \(f(x)=\sqrt{-x+1}\) und \( g(x)=-\sqrt{x+5}+3 \).

1. Gib jeweils die maximale Defintionsmenge und den zugehörigen Wertebereich an.
2. Zeichne die Funktionsgraphen zu den Funktionen in ein gemeinsammes Koordinatensystem im Intervall \([-6; +2]\).
3. Bestimme die Lösungen der Wurzelgleichung \(f(x) = g(x)\) graphisch.
4. Berechne die Lösungen und vergleiche deine berechneten Lösungen mit den graphischen Lösungen aus c).

3  Lineare Regression  (10 min) 𝕃

Nachfolgend ist die Menge freier Chlorreste in ppm (parts per million) in Schwimmbecken als Funktion der Zeit (in Stunden)
nach der Behandlung mit Chemikalien angegeben

1. Bestimme mit Hilfe des Taschenrechners eine Ausgleichsgerade für die gegebenen Messwerte. Notiere auch den Korrelationskoeffizienten r.
2. Berechne mit Hilfe deiner Ausgleichsgeraden einen Näherungswert zum Zeitpunkt 7 Stunden nach dem Messbeginn.

4  Korrelation  (15 min) 𝕃

Die Tabelle gibt Daten aus seriösen Quellen über die Anzahl der Storchenpaare und die Einwohneranzahl in den Jahren 1930 bis 1936 in Oldenburg wieder.

1. Bestimme die Ausgleichsgerade zwischen Storchenpaaren und Einwohnerzahlen sowie den Korrelationskoeffizienten. 
2. Alex behauptet, dass die Störche hauptsächlich für den Einwohnerzuwachs in Oldenburg verantwortlich waren. Nimm dazu begründet Stellung und beziehe den in a) berechneten Korrelationskoeffizienten in deine Begründung mit ein. 

5  Füllstände  (25 min) 𝕃

Die beiden abgebildeten Gefäße werden mit Wasser gefüllt. Ist es möglich, dass bei gleichem Füllstand genau gleich viel Wasser in den Gefäßen ist?

Finde gegebenenfalls diesen Füllstand und das zugehörige Wasservolumen heraus.

6  Spiegeln an der Winkelhalbierenden  (12 min) 𝕃

Graphische Transformationen gehören zu den Grundwerkzeugen der Mathematik. Neben der Verschiebung und der Streckung in Richtung einer Koordinatenachse bzw. der Spiegelung an einer Koordinatenachse gibt es eine weitere besondere Transformation, nämlich die Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden, das ist die Gerade mit der Gleichung \(y=x\). Diese Spiegelung bewirkt den Koordinatentausch \((x|y)\mapsto (y|x)\), d.h., die Umkehrung \(y\mapsto x\) der Zuordnung \(x\mapsto y\).
Das Spiegelbild der orientierten x-Achse ist die orientierte y-Achse und umgekehrt; das Spiegelbild der Normalparabel sind die beiden Funktionsgraphen von \(x\mapsto \pm \sqrt{x}\).
Betrachten wir dieses Beispiel genauer, nämlich die Gleichung \(y=x^2\). Um daraus die Gleichung für die Umkehrung rechnerisch zu ermitteln, löst man meist zunächst nach x auf, also \(x=\pm \sqrt{y}\), und vertauscht dann noch die Variablen x und y miteinander, also \(y=\pm \sqrt{x}\).

Betrachte nun die folgenden drei Gleichungen zu den nachfolgenden Graphen: \(y=2x\), \(y=(x+2)^2\) und \(y=x^3\).

1. Löse die Gleichung jeweils nach x auf; du erhältst damit für x einen Funktionsterm in y.
2. Zeichne die Graphen der Umkehrungen ins Koordinatensystem ein und untersuche, wie sie zur ersten Winkelhalbierenden liegen.
3. Die in a) berechneten Terme sind die Funktionsterme der Umkehrfunktionen (\(f^{-1}\)) der Funktionen \(f\). Untersuche jeweils den Ausdruck \(f^{-1}(y)\), in dem du \(f(x)\) für y einsetzt und beschreibe, was dir (an der jeweiligen Vereinfachung) auffällt.
4. Abschließend stellt sich die Frage: Warum muss der Definitionsbereich der Funktion f verkleinert werden, wenn die Umkehrfunktion berechnet wird? Begründe diese Einschränkung mit den Ergebnissen aus a) und b).