BPE 2 Einheitsübergreifend

Version 102.1 von Martin Rathgeb am 2025/01/05 00:52

Inhalt

AFB I Weg zur Schule
AFB II Potenzgleichungen lösen - graphisch und rechnerisch Lineare Regression Korrelation
AFB III Füllstände Spiegeln an der Winkelhalbierenden

Aufgabe 1 Weg zur Schule 𝕋 𝕃

Kay möchte die Laufzeit für den Weg vom Bahnhof zur Schule berechnen. Die Laufzeit wird modelliert durch die Funktion mit $t(v)= \frac{d}{v}$ (Geschwindigkeit in km/min; Entfernung in km; Laufzeit t(v) in min). Eine Messung hat ergeben, dass die Schule vom Bahnhof 5 km entfernt liegt.

Erstelle die Funktion , die die benötigte Zeit in Minuten in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit in km/h beschreibt.
Bestimme die Definitionslücke der Funktion .
Erläutere, warum es in diesem Kontext sinnvoll ist, eine Definitionslücke zu haben.
Zeichne den Graphen der Funktion und markiere die Definitionslücke.

AFB I	Kompetenzen K1 K3 K4	Bearbeitungszeit 20 min
Quelle Ute Jutt, Ronja Franke		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 2 Potenzgleichungen lösen - graphisch und rechnerisch 𝕃

Gegeben sind die Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen $f(x)=\sqrt{-x+1}$ und $g(x)=-\sqrt{x+5}+3$ .

Gib jeweils die maximale Defintionsmenge und den zugehörigen Wertebereich an.
Zeichne die Funktionsgraphen zu den Funktionen in ein gemeinsammes Koordinatensystem im Intervall .
Bestimme die Lösungen der Wurzelgleichung graphisch.
Berechne die Lösungen und vergleiche deine berechneten Lösungen mit den graphischen Lösungen aus c).

AFB II	Kompetenzen K4 K5	Bearbeitungszeit 15 min
Quelle Martin Stern, Niklas Wunder		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 3 Lineare Regression 𝕃

Nachfolgend ist die Menge freier Chlorreste in ppm (parts per million) in Schwimmbecken als Funktion der Zeit (in Stunden)
nach der Behandlung mit Chemikalien angegeben

Zeit	2	4	6	8	10	12
Menge	1,7	1,5	1,2	1,0	1,0	0,8

Bestimme mit Hilfe des Taschenrechners eine Ausgleichsgerade für die gegebenen Messwerte. Notiere auch den Korrelationskoeffizienten r.
Berechne mit Hilfe deiner Ausgleichsgeraden einen Näherungswert zum Zeitpunkt 7 Stunden nach dem Messbeginn.

AFB II	Kompetenzen K3 K4 K5	Bearbeitungszeit 10 min
Quelle Universität Köln Dr.C.Lange		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 4 Korrelation 𝕃

Die Tabelle gibt Daten aus seriösen Quellen über die Anzahl der Storchenpaare und die Einwohneranzahl in den Jahren 1930 bis 1936 in Oldenburg wieder.

Jahr	1930	1931	1932	1933	1934	1935	1936
Anzahl der Storchenpaare	132	142	166	188	240	250	252
Anzahl der Einwohner	55400	55400	65000	67700	69800	72300	76000

Bestimme die Ausgleichsgerade zwischen Storchenpaaren und Einwohnerzahlen sowie den Korrelationskoeffizienten.
Alex behauptet, dass die Störche hauptsächlich für den Einwohnerzuwachs in Oldenburg verantwortlich waren. Nimm dazu begründet Stellung und beziehe den in a) berechneten Korrelationskoeffizienten in deine Begründung mit ein.

AFB II	Kompetenzen K1 K3 K5	Bearbeitungszeit 15 min
Quelle Niklas Wunder		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 5 Füllstände 𝕃

Die beiden abgebildeten Gefäße werden mit Wasser gefüllt. Ist es möglich, dass bei gleichem Füllstand genau gleich viel Wasser in den Gefäßen ist?
Füllstände Gefäße.PNG

Finde gegebenenfalls diesen Füllstand und das zugehörige Wasservolumen heraus.

#problemlösen

AFB III	Kompetenzen K2 K5 K6	Bearbeitungszeit 25 min
Quelle Problemlösegruppe		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 6 Spiegeln an der Winkelhalbierenden 𝕃

Graphische Transformationen gehören zu den Grundwerkzeugen der Mathematik. Neben der Verschiebung und der Streckung in Richtung einer Koordinatenachse bzw. der Spiegelung an einer Koordinatenachse gibt es eine weitere besondere Transformation, nämlich die Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden, das ist die Gerade mit der Gleichung y=x . Diese Spiegelung bewirkt den Koordinatentausch $(x|y)\mapsto (y|x)$ , d.h., die Umkehrung $y\mapsto x$ der Zuordnung $x\mapsto y$ .
Das Spiegelbild der orientierten x-Achse ist die orientierte y-Achse und umgekehrt; das Spiegelbild der Normalparabel sind die beiden Funktionsgraphen von $x\mapsto \pm \sqrt{x}$ .
Betrachten wir dieses Beispiel genauer, nämlich die Gleichung y=x^2 . Um daraus die Gleichung für die Umkehrung rechnerisch zu ermitteln, löst man meist zunächst nach x auf, also $x=\pm \sqrt{y}$ , und vertauscht dann noch die Variablen x und y miteinander, also $y=\pm \sqrt{x}$ .

Betrachte nun die folgenden drei Gleichungen zu den nachfolgenden Graphen: y=2x , y=(x+2)^2 und y=x^3 .

Löse die Gleichung jeweils nach x auf; du erhältst damit für x einen Funktionsterm in y.
Zeichne die Graphen der Umkehrungen ins Koordinatensystem ein und untersuche, wie sie zur ersten Winkelhalbierenden liegen.
Die in a) berechneten Terme sind die Funktionsterme der Umkehrfunktionen ( $f^{-1}$ ) der Funktionen . Untersuche jeweils den Ausdruck $f^{-1}(y)$ , in dem du für y einsetzt und beschreibe, was dir (an der jeweiligen Vereinfachung) auffällt.
Abschließend stellt sich die Frage: Warum muss der Definitionsbereich der Funktion f verkleinert werden, wenn die Umkehrfunktion berechnet wird? Begründe diese Einschränkung mit den Ergebnissen aus a) und b).