Zum Inhalt springen

Änderungen von Dokument BPE 2 Einheitsübergreifend

Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2025/01/12 20:03
Von Version 120.1
bearbeitet von Martin Rathgeb
am 2025/01/06 21:43
Änderungskommentar: Löschung des Bildes PoShenLoh-Quadratic.PNG
Auf Version 163.1
bearbeitet von Martin Rathgeb
am 2025/01/07 01:14
Änderungskommentar: Es gibt keinen Kommentar für diese Version

Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -1,49 +1,66 @@
1 1  {{seiteninhalt/}}
2 2  
3 -{{aufgabe id="Po-Shen Loh" afb="II" kompetenzen="K2, K4" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="8"}}
4 -IN PROGRESS
5 -[[image:Po-ShenLoh_Quadratic.png||width="600px"]]
6 -
3 +{{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="8"}}
7 7  (% class="abc" %)
8 -1. (((Fülle in folgenden Darstellungsformen einer Geraden die Lücken.
5 +1. (((Fülle in folgenden Darstellungsformen einer Parabel die Lücken.
9 9  (% class="border slim" %)
10 -| |{{formula}}y=\square 3\cdot (x-1)+\square{{/formula}} |
11 -|{{formula}}y=\square \cdot (x-2){{/formula}} |Graph: fallende Gerade in KoorSyS ohne Skalierung |{{formula}}y=\square \cdot x+\square{{/formula}}
12 -| |{{formula}}\frac{x}{\square}+\frac{y}{\square}=1{{/formula}} |
7 +| |{{formula}}y=\square \cdot (x-3)^2+\square{{/formula}} |
8 +|{{formula}}y=\square \cdot (x-1)\cdot (x-\square){{/formula}} |Graph: nach unten geöffnete Parabel in KooSyS ohne Skalierung |{{formula}}y=\square x^2+\square x+\square{{/formula}}
9 +| |{{formula}}y=\square 2\cdot (x^2+\square x+\square){{/formula}} |
13 13  
14 14  )))
15 -1. (((Nenne die Werte der charakteristischen Größen der Geraden:
12 +1. (((Nenne die Werte der charakteristischen Größen der Parabel:
16 16  1. (((//Lage//.
17 -i) y-Achsenabschnitt {{formula}}b{{/formula}} mit y-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_y{{/formula}}
18 -ii) x-Achsenabschnitt {{formula}}x_0{{/formula}} mit x-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_x=N{{/formula}}
14 +i. Scheitel {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} mit Symmetrieachse {{formula}}g{{/formula}} der Parabel
15 +ii. x-Achsenabschnitte {{formula}}x_1, x_2{{/formula}} mit x-Achsenschnittpunkten {{formula}}N_1, N_2{{/formula}}
16 +iii. y-Achsenabschnitt {{formula}}c{{/formula}} mit y-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_y{{/formula}}
19 19  )))
20 20  1. (((//Kovariation//.
21 -i. Steigung {{formula}}m{{/formula}}
19 +i. Steigung {{formula}}b{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=0{{/formula}}
22 22  ii. Krümmung {{formula}}a{{/formula}}
23 23  )))
24 24  )))
25 25  {{/aufgabe}}
26 26  
27 -{{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="8"}}
28 -IN PROGRESS
29 -(% class="abc" %)
30 -1. (((Fülle in folgenden Darstellungsformen einer Geraden die Lücken.
25 +{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="20"}}
26 +In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.
31 31  (% class="border slim" %)
32 -| |{{formula}}y=\square 3\cdot (x-1)+\square{{/formula}} |
33 -|{{formula}}y=\square \cdot (x-2){{/formula}} |Graph: fallende Gerade in KoorSyS ohne Skalierung |{{formula}}y=\square \cdot x+\square{{/formula}}
34 -| |{{formula}}\frac{x}{\square}+\frac{y}{\square}=1{{/formula}} |
28 +|Hauptform |{{formula}}y=ax^2+bx+c{{/formula}}
29 +|Scheitelform |{{formula}}y=a(x-x_S)^2 + y_S{{/formula}}
30 +|Produktform |{{formula}}y=a(x-x_1)(x-x_2){{/formula}}
31 +|Gestreckte Normalform |{{formula}}}y=a(x^2+px+q){{/formula}}
35 35  
33 +Die //Normalparabel// ist Funktionsgraph //der// quadratischen Potenzfunktion ({{formula}}y=x^2{{/formula}}). Ihre //Transformationen// (vgl. Merkhilfe, S. 4) liefern Funktionsgraphen mit Parabelgleichung in //Scheitelform//. Ausmultiplizieren liefert die zugehörige //Hauptform//, das ist zumeist eine //Linearkombination// der drei Potenzfunktionen vom Grad {{formula}}\le 2{{/formula}}: die konstante Funktion mit {{formula}}y=1{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 0), proportionale Funktion mit {{formula}}y=x{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 1) und quadratische Funktion mit {{formula}}y=x^2{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 2). Der Darstellungswechsel zur //Produktform// ist schwieriger, aber auf verschiedene Weisen zugänglich. Wir folgen hier dem Darstellungswechsel nach //Po-Shen Loh//.
34 +
35 +//Verfahren statt Formel (Teil 1)//. Unter der Überschrift "A Simple Proof of the Quadratic Formula" (2019) veröffentlichte Po-Shen Loh einen Aufsatz (https://arxiv.org/abs/1910.06709) über eine Methode für den Darstellungswechsel zwischen //Hauptform// und //Produktform// einer quadratischen Funktion; seine Methode kombiniert auf bislang vielleicht unbekannte Weise altbekannte Ansätze.
36 +(% class="border slim" %)
37 +|[[image:Po-ShenLoh_Quadratic.png||width="600px"]]
38 +
39 +//Verfahren statt Formel (Teil 2)//. In seinem Video "Examples: A Different Way to Solve Quadrativ Equations" (https://youtu.be/XKBX0r3J-9Y?si=1RPiGiHEDIs1KFRU) stellt er seine Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen zunächst an Beispielen und weiter allgemein vor.
40 +(% class="border slim" %)
41 +|{{formula}}\quad{{/formula}} [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png||height="200px"]] | [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Proof.png||height="200px"]] {{formula}}\quad{{/formula}}
42 +
43 +//Anmerkung//. Der Kern des Verfahrens ist die Symmetrisierung: Die //zwei// Nullstellen weichen nämlich von der Hälfte ihrer Summe (das ist die x-Koordinate {{formula}}x_S{{/formula}} des Scheitels) um den gleichen Wert {{formula}}u{{/formula}} (das ist die Diskriminante, an der sich die Lösbarkeit der Gleichung erkennen lässt) nach oben bzw. unten ab. Ausgehend von ihrem Produkt lässt sich diese //eine// Abweichung {{formula}}u{{/formula}} infolge der dritten binomischen Formel als Lösung einer //rein-quadratischen// Gleichung ermitteln.
44 +
45 +(% class="abc" %)
46 +1. (((Seine dortigen Beispiele mögen hier der Übung des Darstellungswechsels dienen. Ermittle (falls möglich) aus der gegebenen Hauptform die //Produktform//.
47 +1. {{formula}}y=x^2-7x+12{{/formula}}
48 +1. {{formula}}y=x^2-14x+22{{/formula}}
49 +1. {{formula}}y=x^2-7x+12{{/formula}}
50 +1. {{formula}}y=x^2-8x+13{{/formula}}
51 +1. {{formula}}y=x^2+6x-4{{/formula}}
52 +1. {{formula}}y=2x^2-4x-5 {{/formula}}
53 +
36 36  )))
37 -1. (((Nenne die Werte der charakteristischen Größen der Geraden:
38 -1. (((//Lage//.
39 -i) y-Achsenabschnitt {{formula}}b{{/formula}} mit y-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_y{{/formula}}
40 -ii) x-Achsenabschnitt {{formula}}x_0{{/formula}} mit x-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_x=N{{/formula}}
55 +1. Zeige, dass die (zur Gleichung kondensierte) Methode die pq-Formel liefert.
56 +//Anmerkung//. Dies wird am Ende des Videos gezeigt; weiter wird aus der pq-Formel die abc-Formel hergeleitet.
57 +1. (((Begründe, dass gilt:
58 +i. {{formula}}x_S=\frac{p}{2}{{/formula}}
59 +ii. {{formula}}x_S=\frac{b}{2a}{{/formula}}
60 +iii. {{formula}}x_S=\frac{x_1+x_2}{2}{{/formula}}
61 +iv. {{formula}}y_S=f(x_S){{/formula}}
41 41  )))
42 -1. (((//Kovariation//.
43 -i. Steigung {{formula}}m{{/formula}}
44 -ii. Krümmung {{formula}}a{{/formula}}
45 -)))
46 -)))
63 +1. Ermittle zu den in a) gegebenen Hauptformen der Parabelgleichungen die Scheitelformen.
47 47  {{/aufgabe}}
48 48  
49 49  {{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
Po-ShenLoh_Quadratic.png
Author
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +XWiki.martinrathgeb
Größe
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +98.4 KB
Inhalt
Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png
Author
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +XWiki.martinrathgeb
Größe
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +828.1 KB
Inhalt
Po-ShenLoh_Quadratic_Proof.png
Author
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +XWiki.martinrathgeb
Größe
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +612.4 KB
Inhalt