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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -22,9 +22,16 @@
22	22	)))
23	23	{{/aufgabe}}
24	24
25		-{{aufgabe id="Darstellungswechsel nach Po-Shen Loh" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="20"}}
26		-Die Normalparabel ist Funktionsgraph //der// quadratischen Potenzfunktion. Transformationen (vgl. Merkhilfe, S. 4) der Normalparabel liefern Funktionsgraphen mit Parabelgleichung in Scheitelform. Ausmultiplizieren liefert die zugehörige Hauptform, das ist zumeist eine //Linearkombination// der drei Potenzfunktionen vom Grad {{formula}}\le 2{{/formula}}: die konstante Funktion mit {{formula}}y=1{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 0), proportionale Funktion mit {{formula}}y=x{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 1) und quadratische Funktion mit {{formula}}y=x^2{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 2). Der Darstellungswechsel zur Produktform ist schwieriger.
	25	+{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="20"}}
	26	+In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.
	27	+(% class="border slim" %)
	28	+|Hauptform |{{formula}}y=ax^2+bx+c{{/formula}}
	29	+|Scheitelform |{{formula}}y=a(x-x_S)^2 + y_S{{/formula}}
	30	+|Produktform |{{formula}}y=a(x-x_1)(x-x_2){{/formula}}
	31	+|Gestreckte Normalform |{{formula}}}y=a(x^2+px+q){{/formula}}
27	27
	33	+Die Normalparabel ist Funktionsgraph //der// quadratischen Potenzfunktion. Transformationen (vgl. Merkhilfe, S. 4) der Normalparabel liefern Funktionsgraphen mit Parabelgleichung in Scheitelform. Ausmultiplizieren liefert die zugehörige Hauptform, das ist zumeist eine //Linearkombination// der drei Potenzfunktionen vom Grad {{formula}}\le 2{{/formula}}: die konstante Funktion mit {{formula}}y=1{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 0), proportionale Funktion mit {{formula}}y=x{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 1) und quadratische Funktion mit {{formula}}y=x^2{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 2). Der Darstellungswechsel zur Produktform ist schwieriger, aber auf verschiedene Weisen zugänglich. Wir folgen hier dem Darstellungswechsel nach //Po-Shen Loh//.
	34	+
28	28	//Verfahren statt Formel (Teil 1)//. Unter der Überschrift "A Simple Proof of the Quadratic Formula" (2019) veröffentlichte Po-Shen Loh einen Aufsatz (https://arxiv.org/abs/1910.06709) über eine Methode für den Darstellungswechsel zwischen //Hauptform// und //Produktform// einer quadratischen Funktion; seine Methode kombiniert auf bislang vielleicht unbekannte Weise altbekannte Ansätze.
29	29	(% class="border slim" %)
30	30	|[[image:Po-ShenLoh_Quadratic.png||width="600px"]]
...	...	@@ -36,17 +36,24 @@
36	36	//Anmerkung//. Der Kern des Verfahrens ist die Symmetrisierung: Die //zwei// Nullstellen weichen nämlich von der Hälfte ihrer Summe (das ist die x-Koordinate {{formula}}x_S{{/formula}} des Scheitels) um den gleichen Wert {{formula}}u{{/formula}} (das ist die Diskriminante, an der sich die Lösbarkeit der Gleichung erkennen lässt) nach oben bzw. unten ab. Ausgehend von ihrem Produkt lässt sich diese //eine// Abweichung {{formula}}u{{/formula}} infolge der dritten binomischen Formel als Lösung einer //rein-quadratischen// Gleichung ermitteln.
37	37
38	38	(% class="abc" %)
39		-1. (((Seine dortigen Beispiele mögen hier der Übung des Darstellungswechsels dienen. Ermittle (falls möglich) die Produktform der Funktionsgleichung.
40		-1. {{formula}}f(x)=x^2-7x+12{{/formula}}
41		-1. {{formula}}f(x)=x^2-14x+22{{/formula}}
42		-1. {{formula}}f(x)=x^2-7x+12{{/formula}}
43		-1. {{formula}}f(x)=x^2-8x+13{{/formula}}
44		-1. {{formula}}f(x)=x^2+6x-4{{/formula}}
45		-1. {{formula}}f(x)=2x^2-4x-5 {{/formula}}
	46	+1. (((Seine dortigen Beispiele mögen hier der Übung des Darstellungswechsels dienen. Ermittle (falls möglich) aus der gegebenen Hauptform die //Produktform//.
	47	+1. {{formula}}y=x^2-7x+12{{/formula}}
	48	+1. {{formula}}y=x^2-14x+22{{/formula}}
	49	+1. {{formula}}y=x^2-7x+12{{/formula}}
	50	+1. {{formula}}y=x^2-8x+13{{/formula}}
	51	+1. {{formula}}y=x^2+6x-4{{/formula}}
	52	+1. {{formula}}y=2x^2-4x-5 {{/formula}}
46	46
47	47	)))
48	48	1. Zeige, dass die (zur Gleichung kondensierte) Methode die pq-Formel liefert.
49	49	//Anmerkung//. Dies wird am Ende des Videos gezeigt; weiter wird aus der pq-Formel die abc-Formel hergeleitet.
	57	+1. (((Begründe, dass gilt:
	58	+i. {{formula}}x_S=\frac{p}{2}{{/formula}}
	59	+ii. {{formula}}x_S=\frac{b}{2a}{{/formula}}
	60	+iii. {{formula}}x_S=\frac{x_1+x_2}{2}{{/formula}}
	61	+iv. {{formula}}y_S=f(x_S){{/formula}}
	62	+)))
	63	+1. Ermittle zu den in a) gegebenen Hauptformen der Parabelgleichungen die Scheitelformen.
50	50	{{/aufgabe}}
51	51
52	52	{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}