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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,66 +1,61 @@
1	1	{{seiteninhalt/}}
2	2
3		-{{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="8"}}
4		-(% class="abc" %)
5		-1. (((Fülle in folgenden Darstellungsformen einer Parabel die Lücken.
	3	+{{aufgabe id="Po-Shen Loh" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="8"}}
	4	+//Verfahren statt Formel//. Unter der Überschrift //A Simple Proof of the Quadratic Formula// (2019) veröffentlichte Po-Shen Loh einen Aufsatz (https://arxiv.org/abs/1910.06709) über eine Methode für den Darstellungswechsel zwischen //Hauptform// und //Produktform// einer quadratischen Funktion; seine Methode kombiniert auf bislang vielleicht unbekannte Weise altbekannte Ansätze.
6	6	(% class="border slim" %)
7		-| |{{formula}}y=\square \cdot (x-3)^2+\square{{/formula}} |
8		-|{{formula}}y=\square \cdot (x-1)\cdot (x-\square){{/formula}} |Graph: nach unten geöffnete Parabel in KooSyS ohne Skalierung |{{formula}}y=\square x^2+\square x+\square{{/formula}}
9		-| |{{formula}}y=\square 2\cdot (x^2+\square x+\square){{/formula}} |
	6	+|[[image:Po-ShenLoh_Quadratic.png||width="600px"]]
10	10
	8	+In seinem Video "Examples: A Different Way to Solve Quadrativ Equations"(https://youtu.be/XKBX0r3J-9Y?si=1RPiGiHEDIs1KFRU) stellt er die Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen vor.
	9	+(% class="border slim" %)
	10	+[[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Proof.png||height="200px"]] {{formula}}\quad{{/formula}}|{{formula}}\quad{{/formula}} [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png||height="200px"]]
	11	+(% class="abc" %)
	12	+1. (((Seine dortigen Beispiele mögen hier der Übung des Darstellungswechsels dienen.
	13	+1. {{formula}}f(x)=x^2-7x+12{{/formula}}
	14	+1. {{formula}}f(x)=x^2-14x+22{{/formula}}
	15	+1. {{formula}}f(x)=x^2-7x+12{{/formula}}
	16	+1. {{formula}}f(x)=x^2-8x+13{{/formula}}
	17	+1. {{formula}}f(x)=x^2+6x-4{{/formula}}
	18	+1. {{formula}}f(x)=2x^2-4x-5 {{/formula}}
	19	+
11	11	)))
12		-1. (((Nenne die Werte der charakteristischen Größen der Parabel:
	21	+1. Am Ende des Videos wird gezeigt, dass die Methode die pq-Formel und die abc-Formel bewiesen.
	22	+1. (((Ermittle für jede Gleichungsform {{formula}}\ldots{{/formula}}
	23	+1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, ob (und ggf. wie) sich die beiden //Winkelhalbierenden// (besondere Geraden) darstellen lassen.
	24	+1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, ob (und ggf. wie) sich die //Parallelen zu den Koordinatenachsen// (Typen besonderer Geraden) darstellen lassen.
	25	+1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, welche Werte charakteristischer Größen von {{formula}}g{{/formula}} sich direkt ablesen lassen; vgl. dazu vorausgegangenes Arithmagon.
	26	+
	27	+1. (((Nenne die Werte der charakteristischen Größen der Geraden:
13	13	1. (((//Lage//.
14		-i. Scheitel {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} mit Symmetrieachse {{formula}}g{{/formula}} der Parabel
15		-ii. x-Achsenabschnitte {{formula}}x_1, x_2{{/formula}} mit x-Achsenschnittpunkten {{formula}}N_1, N_2{{/formula}}
16		-iii. y-Achsenabschnitt {{formula}}c{{/formula}} mit y-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_y{{/formula}}
	29	+i) y-Achsenabschnitt {{formula}}b{{/formula}} mit y-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_y{{/formula}}
	30	+ii) x-Achsenabschnitt {{formula}}x_0{{/formula}} mit x-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_x=N{{/formula}}
17	17	)))
18	18	1. (((//Kovariation//.
19		-i. Steigung {{formula}}b{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=0{{/formula}}
	33	+i. Steigung {{formula}}m{{/formula}}
20	20	ii. Krümmung {{formula}}a{{/formula}}
21	21	)))
22	22	)))
23	23	{{/aufgabe}}
24	24
25		-{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="20"}}
26		-In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.
	39	+{{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="8"}}
	40	+IN PROGRESS
	41	+(% class="abc" %)
	42	+1. (((Fülle in folgenden Darstellungsformen einer Geraden die Lücken.
27	27	(% class="border slim" %)
28		-|Hauptform |{{formula}}y=ax^2+bx+c{{/formula}}
29		-|Scheitelform |{{formula}}y=a(x-x_S)^2 + y_S{{/formula}}
30		-|Produktform |{{formula}}y=a(x-x_1)(x-x_2){{/formula}}
31		-|Gestreckte Normalform |{{formula}}}y=a(x^2+px+q){{/formula}}
	44	+| |{{formula}}y=\square 3\cdot (x-1)+\square{{/formula}} |
	45	+|{{formula}}y=\square \cdot (x-2){{/formula}} |Graph: fallende Gerade in KoorSyS ohne Skalierung |{{formula}}y=\square \cdot x+\square{{/formula}}
	46	+| |{{formula}}\frac{x}{\square}+\frac{y}{\square}=1{{/formula}} |
32	32
33		-Die Normalparabel ist Funktionsgraph //der// quadratischen Potenzfunktion. Transformationen (vgl. Merkhilfe, S. 4) der Normalparabel liefern Funktionsgraphen mit Parabelgleichung in Scheitelform. Ausmultiplizieren liefert die zugehörige Hauptform, das ist zumeist eine //Linearkombination// der drei Potenzfunktionen vom Grad {{formula}}\le 2{{/formula}}: die konstante Funktion mit {{formula}}y=1{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 0), proportionale Funktion mit {{formula}}y=x{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 1) und quadratische Funktion mit {{formula}}y=x^2{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 2). Der Darstellungswechsel zur Produktform ist schwieriger, aber auf verschiedene Weisen zugänglich. Wir folgen hier dem Darstellungswechsel nach //Po-Shen Loh//.
34		-
35		-//Verfahren statt Formel (Teil 1)//. Unter der Überschrift "A Simple Proof of the Quadratic Formula" (2019) veröffentlichte Po-Shen Loh einen Aufsatz (https://arxiv.org/abs/1910.06709) über eine Methode für den Darstellungswechsel zwischen //Hauptform// und //Produktform// einer quadratischen Funktion; seine Methode kombiniert auf bislang vielleicht unbekannte Weise altbekannte Ansätze.
36		-(% class="border slim" %)
37		-|[[image:Po-ShenLoh_Quadratic.png||width="600px"]]
38		-
39		-//Verfahren statt Formel (Teil 2)//. In seinem Video "Examples: A Different Way to Solve Quadrativ Equations" (https://youtu.be/XKBX0r3J-9Y?si=1RPiGiHEDIs1KFRU) stellt er seine Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen zunächst an Beispielen und weiter allgemein vor.
40		-(% class="border slim" %)
41		-|{{formula}}\quad{{/formula}} [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png||height="200px"]] | [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Proof.png||height="200px"]] {{formula}}\quad{{/formula}}
42		-
43		-//Anmerkung//. Der Kern des Verfahrens ist die Symmetrisierung: Die //zwei// Nullstellen weichen nämlich von der Hälfte ihrer Summe (das ist die x-Koordinate {{formula}}x_S{{/formula}} des Scheitels) um den gleichen Wert {{formula}}u{{/formula}} (das ist die Diskriminante, an der sich die Lösbarkeit der Gleichung erkennen lässt) nach oben bzw. unten ab. Ausgehend von ihrem Produkt lässt sich diese //eine// Abweichung {{formula}}u{{/formula}} infolge der dritten binomischen Formel als Lösung einer //rein-quadratischen// Gleichung ermitteln.
44		-
45		-(% class="abc" %)
46		-1. (((Seine dortigen Beispiele mögen hier der Übung des Darstellungswechsels dienen. Ermittle (falls möglich) aus der gegebenen Hauptform die //Produktform//.
47		-1. {{formula}}y=x^2-7x+12{{/formula}}
48		-1. {{formula}}y=x^2-14x+22{{/formula}}
49		-1. {{formula}}y=x^2-7x+12{{/formula}}
50		-1. {{formula}}y=x^2-8x+13{{/formula}}
51		-1. {{formula}}y=x^2+6x-4{{/formula}}
52		-1. {{formula}}y=2x^2-4x-5 {{/formula}}
53		-
54	54	)))
55		-1. Zeige, dass die (zur Gleichung kondensierte) Methode die pq-Formel liefert.
56		-//Anmerkung//. Dies wird am Ende des Videos gezeigt; weiter wird aus der pq-Formel die abc-Formel hergeleitet.
57		-1. (((Begründe, dass gilt:
58		-i. {{formula}}x_S=\frac{p}{2}{{/formula}}
59		-ii. {{formula}}x_S=\frac{b}{2a}{{/formula}}
60		-iii. {{formula}}x_S=\frac{x_1+x_2}{2}{{/formula}}
61		-iv. {{formula}}y_S=f(x_S){{/formula}}
	49	+1. (((Nenne die Werte der charakteristischen Größen der Geraden:
	50	+1. (((//Lage//.
	51	+i) y-Achsenabschnitt {{formula}}b{{/formula}} mit y-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_y{{/formula}}
	52	+ii) x-Achsenabschnitt {{formula}}x_0{{/formula}} mit x-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_x=N{{/formula}}
62	62	)))
63		-1. Ermittle zu den in a) gegebenen Hauptformen der Parabelgleichungen die Scheitelformen.
	54	+1. (((//Kovariation//.
	55	+i. Steigung {{formula}}m{{/formula}}
	56	+ii. Krümmung {{formula}}a{{/formula}}
	57	+)))
	58	+)))
64	64	{{/aufgabe}}
65	65
66	66	{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}