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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -24,37 +24,63 @@
24	24
25	25	{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
26	26	In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.
27		-(% class="border" %)
	27	+(% class="border slim" %)
28	28	|Scheitelform |{{formula}}y=a(x-x_S)^2 + y_S{{/formula}}
29	29	|Hauptform |{{formula}}y=ax^2+bx+c{{/formula}}
30	30	|Produktform |{{formula}}y=a(x-x_1)(x-x_2){{/formula}}
31	31	|Gestreckte Normalform |{{formula}}}y=a(x^2+px+q){{/formula}}
32	32
33		-Zwischen den Parametern gelten folgende Beziehungen, wobei die Kurz-Bezeichnung {{formula}}}y_S^*=\frac{y_S^*}{a}{{/formula}} verwendet wurde.
	33	+Es gelten folgende Beziehungen zwischen den Parametern, wobei
34	34
35		-(% class="border" %)
36		-|Nr. |Von |Zu |Beziehungen
37		-|1 |Scheitelform |pq-Form |{{formula}}p = -2x_S, \, q = x_S^2 + y_S^*{{/formula}}
38		-|2 |pq-Form |Scheitelform |{{formula}}x_S = -\frac{p}{2}, \, y_S^* = -\frac{p^2}{4} + q{{/formula}}
39		-|3 |Scheitelform |Produktform |{{formula}}x_1 = x_S - \sqrt{-y_S^*}, \, x_2 = x_S + \sqrt{-y_S^*}{{/formula}}
40		-|4 |pq-Form |Produktform |{{formula}}x_1 = -\frac{p}{2} + \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}, \, x_2 = -\frac{p}{2} - \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}{{/formula}}
41		-|5 |Produktform |pq-Form |{{formula}}p = -(x_1 + x_2), \, q = x_1 x_2{{/formula}}
42		-|6 |Produktform |Scheitelform |{{formula}}x_S = \frac{x_1 + x_2}{2}, \, y_S^* = -\frac{(x_2 - x_1)^2}{4}{{/formula}}
	35	+{{formula}}
	36	+\[
	37	+\begin{array}{|c|l|l|l|}
	38	+\hline
	39	+\textbf{Nr.} & \textbf{Von} & \textbf{Zu} & \textbf{Beziehungen} \\
	40	+\hline
	41	+1 & \text{Scheitelform} & \text{pq-Form} & p = -2x_S, \, q = x_S^2 + y_S^* \\
	42	+\hline
	43	+2 & \text{pq-Form} & \text{Scheitelform} & x_S = -\frac{p}{2}, \, y_S^* = -\frac{p^2}{4} + q \\
	44	+\hline
	45	+3 & \text{Scheitelform} & \text{Produktform} & x_1 = x_S - \sqrt{-y_S^*}, \, x_2 = x_S + \sqrt{-y_S^*} \\
	46	+\hline
	47	+4 & \text{pq-Form} & \text{Produktform} & x_1 = -\frac{p}{2} + \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}, \, x_2 = -\frac{p}{2} - \sqrt{\frac{p^2}{4} - q} \\
	48	+\hline
	49	+5 & \text{Produktform} & \text{pq-Form} & p = -(x_1 + x_2), \, q = x_1 x_2 \\
	50	+\hline
	51	+6 & \text{Produktform} & \text{Scheitelform} & x_S = \frac{x_1 + x_2}{2}, \, y_S^* = -\frac{(x_2 - x_1)^2}{4} \\
	52	+\hline
	53	+\end{array}
	54	+\]
	55	+{{/formula}}
43	43
	57	+//Verfahren statt Formel (Teil 1)//. Unter der Überschrift "A Simple Proof of the Quadratic Formula" (2019) veröffentlichte Po-Shen Loh einen Aufsatz (https://arxiv.org/abs/1910.06709) über eine Methode für den Darstellungswechsel zwischen //Hauptform// und //Produktform// einer quadratischen Funktion; seine Methode kombiniert auf bislang vielleicht unbekannte Weise altbekannte Ansätze.
	58	+(% class="border slim" %)
	59	+|[[image:Po-ShenLoh_Quadratic.png||width="600px"]]
	60	+
	61	+//Verfahren statt Formel (Teil 2)//. In seinem Video "Examples: A Different Way to Solve Quadrativ Equations" (https://youtu.be/XKBX0r3J-9Y?si=1RPiGiHEDIs1KFRU) stellt er seine Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen zunächst an Beispielen und weiter allgemein vor.
	62	+(% class="border slim" %)
	63	+|[[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png||height="200px"]] {{formula}}\quad{{/formula}} |{{formula}}\quad{{/formula}} [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Proof.png||height="200px"]]
	64	+|(Video 27:00)|(Video 33:11)
	65	+
44	44	(% class="abc" %)
45		-1. //Formeln anwenden//. Ergänze die Leerstellen in folgender Tabelle.
46		-(% class="border" %)
47		-|Nr. |Hauptform |Scheitelform |Produktform
48		-|1 |{{formula}}y = x^2 - 4x + 3{{/formula}} | |
49		-|2 | |{{formula}}y = (x - 1)^2 + 4{{/formula}} |
50		-|3 | | |{{formula}}y = (x + 2)(x + 2){{/formula}}
51		-|4 |{{formula}}y = -(x^2 - 4x + 1){{/formula}} | |
52		-|5 | |{{formula}}y = -\pi(x - \pi)^2{{/formula}} |
53		-|6 | | |{{formula}}y = -(x + 1 - \sqrt{2})(x + 1 + \sqrt{2}){{/formula}}
54		-|7 |{{formula}}y = 2(x^2 + 2x + 5){{/formula}} | |
55		-|8 | |{{formula}}y = -\frac{3}{2}(x - 2)^2{{/formula}} |
56		-|9 | | |{{formula}}y = \sqrt{2}(x - 2)(x - 3){{/formula}}
57		-1. //Formeln begründen//. Zeige die Beziehungen zwischen den Parametern; vgl. obige Tabelle.
	67	+1. (((Seine dortigen Beispiele mögen hier der Übung des Darstellungswechsels dienen. Ermittle (falls möglich) aus der gegebenen Hauptform die //Produktform//. Folge in Vorgehen und Darstellung obigen Beispielen (dem konkreten und dem allgemeinen).
	68	+1. {{formula}}y=x^2-7x+12{{/formula}}
	69	+1. {{formula}}y=x^2-14x+24{{/formula}}
	70	+1. {{formula}}y=x^2-8x+13{{/formula}}
	71	+1. {{formula}}y=x^2+6x-4{{/formula}}
	72	+1. {{formula}}y=2x^2-4x-5 {{/formula}}
	73	+1. {{formula}}y=3x^2-7x+12{{/formula}}
	74	+
	75	+)))
	76	+1. (((Begründe, dass gilt:
	77	+i. {{formula}}\frac{b}{a}=p{{/formula}} und {{formula}}\frac{c}{a}=q{{/formula}}
	78	+ii. {{formula}}2x_S=x_1+x_2=-p{{/formula}} und {{formula}}x_1\cdot x_2=q{{/formula}}
	79	+iii. {{formula}}x_S=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-p}{2}{{/formula}} und {{formula}}y_S=f(x_S){{/formula}}
	80	+)))
	81	+1. Ermittle zu den in a) gegebenen Hauptformen der Parabelgleichungen die Scheitelformen.
	82	+1. Zeige, dass die (zur Gleichung kondensierte) Methode die pq-Formel liefert.
	83	+//Anmerkung//. Dies wird am Ende des Videos gezeigt; weiter wird aus der pq-Formel die abc-Formel hergeleitet.
58	58	{{/aufgabe}}
59	59
60	60	{{aufgabe id="Weg zur Schule" afb="I" kompetenzen="K1,K3,K4" quelle="Ute Jutt, Ronja Franke" cc="BY-SA" zeit="20"}}