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Änderungen von Dokument BPE 2 Einheitsübergreifend

Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2025/01/12 20:03
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -1,61 +1,5 @@
1 1  {{seiteninhalt/}}
2 2  
3 -{{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K5" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}}
4 -(% class="abc" %)
5 -1. (((Fülle in folgenden Darstellungsformen einer Parabel die Lücken.
6 -(% class="border slim" %)
7 -| |{{formula}}y=\square \cdot (x-3)^2+\square{{/formula}} |
8 -|{{formula}}y=\square \cdot (x-1)\cdot (x-\square){{/formula}} |Graph: nach unten geöffnete Parabel in KooSyS ohne Skalierung |{{formula}}y=\square x^2+\square x+\square{{/formula}}
9 -| |{{formula}}y=\square 2\cdot (x^2+\square x+\square){{/formula}} |
10 -
11 -)))
12 -1. (((Nenne die Werte der charakteristischen Größen der Parabel:
13 -1. (((//Lage//.
14 -i. Scheitel {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} mit Symmetrieachse {{formula}}g{{/formula}} der Parabel
15 -ii. x-Achsenabschnitte {{formula}}x_1, x_2{{/formula}} mit x-Achsenschnittpunkten {{formula}}N_1, N_2{{/formula}}
16 -iii. y-Achsenabschnitt {{formula}}c{{/formula}} mit y-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_y{{/formula}}
17 -)))
18 -1. (((//Kovariation//.
19 -i. Steigung {{formula}}b{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=0{{/formula}}
20 -ii. Krümmung {{formula}}a{{/formula}}
21 -)))
22 -)))
23 -{{/aufgabe}}
24 -
25 -{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
26 -In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.
27 -(% class="border" %)
28 -|Scheitelform |{{formula}}y=a(x-x_S)^2 + y_S{{/formula}}
29 -|Hauptform |{{formula}}y=ax^2+bx+c{{/formula}}
30 -|Produktform |{{formula}}y=a(x-x_1)(x-x_2){{/formula}}
31 -|Gestreckte Normalform |{{formula}}}y=a(x^2+px+q){{/formula}}
32 -
33 -(% class="abc" %)
34 -1. //Formeln entdecken//. Untersuche die Gleichungsformen im Hinblick auf Gemeinsamkeiten, Unterschiede und Zusammenhänge; instruktiv ist der //Koeffizientenvergleich// mit der "Gestreckten Normalform".
35 -Folgende Tabelle gibt einen Überblick über Beziehungen zwischen den Parametern, wobei die Kurz-Bezeichnung {{formula}}}y_S^*=\frac{y_S^*}{a}{{/formula}} verwendet wurde.
36 -(% class="border" %)
37 -|Nr. |Von |Zu |Beziehungen
38 -|1 |Scheitelform |pq-Form |{{formula}}p = -2x_S, \, q = x_S^2 + y_S^*{{/formula}}
39 -|2 |pq-Form |Scheitelform |{{formula}}x_S = -\frac{p}{2}, \, y_S^* = -\frac{p^2}{4} + q{{/formula}}
40 -|3 |Scheitelform |Produktform |{{formula}}x_1 = x_S - \sqrt{-y_S^*}, \, x_2 = x_S + \sqrt{-y_S^*}{{/formula}}
41 -|4 |pq-Form |Produktform |{{formula}}x_1 = -\frac{p}{2} + \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}, \, x_2 = -\frac{p}{2} - \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}{{/formula}}
42 -|5 |Produktform |pq-Form |{{formula}}p = -(x_1 + x_2), \, q = x_1 x_2{{/formula}}
43 -|6 |Produktform |Scheitelform |{{formula}}x_S = \frac{x_1 + x_2}{2}, \, y_S^* = -\frac{(x_2 - x_1)^2}{4}{{/formula}}
44 -1. //Formeln anwenden//. Ergänze die Leerstellen in folgender Tabelle.
45 -(% class="border" %)
46 -|Nr. |Hauptform |Scheitelform |Produktform
47 -|1 |{{formula}}y = x^2 - 4x + 3{{/formula}} | |
48 -|2 | |{{formula}}y = (x - 1)^2 + 4{{/formula}} |
49 -|3 | | |{{formula}}y = (x + 2)(x + 2){{/formula}}
50 -|4 |{{formula}}y = -(x^2 - 4x + 1){{/formula}} | |
51 -|5 | |{{formula}}y = -\pi(x - \pi)^2{{/formula}} |
52 -|6 | | |{{formula}}y = -(x + 1 - \sqrt{2})(x + 1 + \sqrt{2}){{/formula}}
53 -|7 |{{formula}}y = 2(x^2 + 2x + 5){{/formula}} | |
54 -|8 | |{{formula}}y = -\frac{3}{2}(x - 2)^2{{/formula}} |
55 -|9 | | |{{formula}}y = \sqrt{2}(x - 2)(x - 3){{/formula}}
56 -1. //Formeln begründen//. Zeige die Beziehungen zwischen den Parametern; vgl. obige Tabelle.
57 -{{/aufgabe}}
58 -
59 59  {{aufgabe id="Weg zur Schule" afb="I" kompetenzen="K1,K3,K4" quelle="Ute Jutt, Ronja Franke" cc="BY-SA" zeit="20"}}
60 60  Kay möchte die Laufzeit für den Weg vom Bahnhof zur Schule berechnen. Die Laufzeit wird modelliert durch die Funktion {{formula}}t{{/formula}} mit {{formula}}t(v)= \frac{d}{v}{{/formula}} (Geschwindigkeit {{formula}}v{{/formula}} in km/min; Entfernung {{formula}}d{{/formula}} in km; Laufzeit {{formula}}t(v){{/formula}} in min). Eine Messung hat ergeben, dass die Schule vom Bahnhof 5 km entfernt liegt.
61 61  
... ... @@ -83,7 +83,7 @@
83 83  |=Zeit|2|4|6|8|10|12|
84 84  |=Menge|1,7|1,5|1,2|1,0|1,0|0,8|
85 85  
86 -(% class="abc" %)
30 +(% style="list-style: alphastyle" %)
87 87  1. Bestimme mit Hilfe des Taschenrechners eine Ausgleichsgerade für die gegebenen Messwerte. Notiere auch den Korrelationskoeffizienten r.
88 88  1. Berechne mit Hilfe deiner Ausgleichsgeraden einen Näherungswert zum Zeitpunkt 7 Stunden nach dem Messbeginn.
89 89  {{/aufgabe}}
... ... @@ -95,9 +95,8 @@
95 95  |=Anzahl der Storchenpaare|132|142|166|188|240|250|252
96 96  |=Anzahl der Einwohner|55400|55400|65000|67700|69800|72300|76000
97 97  
98 -(% class="abc" %)
99 -1. Bestimme die Ausgleichsgerade zwischen Storchenpaaren und Einwohnerzahlen sowie den Korrelationskoeffizienten.
100 -1. Alex behauptet, dass die Störche hauptsächlich für den Einwohnerzuwachs in Oldenburg verantwortlich waren. Nimm dazu begründet Stellung und beziehe den in a) berechneten Korrelationskoeffizienten in deine Begründung mit ein.
42 +a) Bestimme die Ausgleichsgerade zwischen Storchenpaaren und Einwohnerzahlen sowie den Korrelationskoeffizienten.
43 +b) Alex behauptet, dass die Störche hauptsächlich für den Einwohnerzuwachs in Oldenburg verantwortlich waren. Nimm dazu begründet Stellung und beziehe den in a) berechneten Korrelationskoeffizienten in deine Begründung mit ein.
101 101  {{/aufgabe}}
102 102  
103 103  {{aufgabe id="Füllstände" afb="III" zeit="25" kompetenzen="K2, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Problemlösegruppe" cc="BY-SA"}}
... ... @@ -120,16 +120,18 @@
120 120  
121 121  {{aufgabe id="Spiegeln an der Winkelhalbierenden" afb="III" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Martin Rathgeb" zeit="12" cc="BY-SA"}}
122 122  Graphische Transformationen gehören zu den Grundwerkzeugen der Mathematik. Neben der Verschiebung und der Streckung in Richtung einer Koordinatenachse bzw. der Spiegelung an einer Koordinatenachse gibt es eine weitere besondere Transformation, nämlich die //Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden//, das ist die Gerade mit der Gleichung {{formula}}y=x{{/formula}}. Diese Spiegelung bewirkt den Koordinatentausch {{formula}}(x|y)\mapsto (y|x){{/formula}}, d.h., die Umkehrung {{formula}}y\mapsto x{{/formula}} der Zuordnung {{formula}}x\mapsto y{{/formula}}.
123 -Dazu drei Beispiele: Das Spiegelbild der positiv orientierten x-Achse ({{formula}}y=0{{/formula}}, ein Funktionsgraph) ist die positiv orientierte y-Achse ({{formula}}x=0{{/formula}}, kein Funktionsgraph); das Spiegelbild der positiv orientierten y-Achse wiederum ist die positiv orientierte x-Achse; das Spiegelbild der Normalparabel ({{formula}}y=x^2{{/formula}}, ein Funktionsgraph) sind die beiden Wurzeläste ({{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}}) zusammengenommen (kein Funktionsgraph). Betrachten wir das dritte Beispiel genauer: Um aus der Gleichung {{formula}}y=x^2{{/formula}} rechnerisch die Gleichung {{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}} zu ermitteln, löst man zunächst die Gleichung {{formula}}y=x^2{{/formula}} nach {{formula}}x{{/formula}} auf und tauscht dann in der erhaltenen Gleichung {{formula}}x=\pm \sqrt{y}{{/formula}} noch die Variablen gegeneinander aus ({{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}}).
124 124  
125 -Betrachte nun die folgenden drei Gleichungen zu den nachfolgenden Funktionsgraphen: {{formula}}y=2x{{/formula}}, {{formula}}y=(x+2)^2{{/formula}} und {{formula}}y=x^3{{/formula}}.
126 -[[image:Einheitsuebergreifend2.png||width="400px"]]
127 127  
68 +Betrachten wir dafür zunächst ein Beispiel, nämlich die Gleichung {{formula}}y=x^2{{/formula}}. Um daraus die Gleichung für die Umkehrung rechnerisch zu ermitteln, löst man nach //x// auf, d.h.: {{formula}}x=\pm \sqrt{y}{{/formula}}.
69 +Vertausche //x// und //y// miteinander um die Gleichung der Umkehrung zu erhalten.
70 +
71 +Betrachte nun die folgenden drei Gleichungen zu den nachfolgenden Graphen: {{formula}}y=2x{{/formula}}, {{formula}}y=(x+2)^2{{/formula}} und {{formula}}y=x^3{{/formula}}.
72 +[[image:Einheitsuebergreifend2.png||width="400px"]]
128 128  (% class="abc" %)
129 -1. Löse die Gleichungen jeweils nach {{formula}}x{{/formula}} auf; du erhältst damit für {{formula}}x{{/formula}} einen Funktionsterm {{formula}}x(y){{/formula}} in {{formula}}y{{/formula}}.
130 -1. Führe in den in a) berechneten Termen {{formula}}x(y){{/formula}} den Variablentausch durch, zeichne die Graphen der Umkehrungen zusätzlich ins Koordinatensystem ein und untersuche, wie die Paare von Graphen zur ersten Winkelhalbierenden liegen.
131 -1. Die in a) berechneten Terme {{formula}}x(y){{/formula}} sind insbesondere in Monotonieintervallen von {{formula}}f{{/formula}} Funktionsterme von Umkehrfunktionen {{formula}}f^{-1}{{/formula}}. Untersuche die Ausdrücke {{formula}}f^{-1}(y){{/formula}}, indem du {{formula}}f(x){{/formula}} für {{formula}}y{{/formula}} einsetzt, und beschreibe, was dir (an der jeweiligen Vereinfachung) auffällt.
132 -1. Abschließend stellt sich die Frage: Weshalb der Definitionsbereich der Funktionen {{formula}}f{{/formula}} (z.B. auf ein Monotonieintervall) verkleinert werden muss, um eine Umkehrfunktion zu erhalten? Begründe diese Einschränkung mit den Ergebnissen aus a) und b).
74 +1. Löse die Gleichung jeweils nach //x// auf; du erhältst damit für //x// einen Funktionsterm in //y//.
75 +1. Zeichne die Graphen der Umkehrungen ins Koordinatensystem ein und untersuche, wie sie zur ersten Winkelhalbierenden liegen.
76 +1. Die in a) berechneten Terme sind die Funktionsterme der Umkehrfunktionen ({{formula}}f^{-1}{{/formula}}) der Funktionen {{formula}}f{{/formula}}. Untersuche jeweils den Ausdruck {{formula}}f^{-1}(y){{/formula}}, in dem du {{formula}}f(x){{/formula}} für //y// einsetzt und beschreibe, was dir (an der jeweiligen Vereinfachung) auffällt.
77 +1. Abschließend stellt sich die Frage: Warum muss der Definitionsbereich der Funktion //f// verkleinert werden, wenn die Umkehrfunktion berechnet wird? Begründe diese Einschränkung mit den Ergebnissen aus a) und b).
133 133  {{/aufgabe}}
134 134  
135 135  {{matrix/}}
Po-ShenLoh_Quadratic.png
Author
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1 -XWiki.martinrathgeb
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1 -98.4 KB
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1 -612.4 KB
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