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Wiki-Quellcode von BPE 2 Einheitsübergreifend

Version 183.1 von Martin Rathgeb am 2025/01/07 20:58
Verstecke letzte Bearbeiter
Holger Engels 7.1 1 {{seiteninhalt/}}
akukin 1.1 2
Martin Rathgeb 166.1 3 {{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K5" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}}
Martin Rathgeb 161.1 4 (% class="abc" %)
5 1. (((Fülle in folgenden Darstellungsformen einer Parabel die Lücken.
6 (% class="border slim" %)
7 | |{{formula}}y=\square \cdot (x-3)^2+\square{{/formula}} |
8 |{{formula}}y=\square \cdot (x-1)\cdot (x-\square){{/formula}} |Graph: nach unten geöffnete Parabel in KooSyS ohne Skalierung |{{formula}}y=\square x^2+\square x+\square{{/formula}}
9 | |{{formula}}y=\square 2\cdot (x^2+\square x+\square){{/formula}} |
10
11 )))
12 1. (((Nenne die Werte der charakteristischen Größen der Parabel:
13 1. (((//Lage//.
14 i. Scheitel {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} mit Symmetrieachse {{formula}}g{{/formula}} der Parabel
15 ii. x-Achsenabschnitte {{formula}}x_1, x_2{{/formula}} mit x-Achsenschnittpunkten {{formula}}N_1, N_2{{/formula}}
16 iii. y-Achsenabschnitt {{formula}}c{{/formula}} mit y-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_y{{/formula}}
17 )))
18 1. (((//Kovariation//.
19 i. Steigung {{formula}}b{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=0{{/formula}}
20 ii. Krümmung {{formula}}a{{/formula}}
21 )))
22 )))
23 {{/aufgabe}}
24
Martin Rathgeb 166.1 25 {{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
Martin Rathgeb 162.1 26 In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.
Martin Rathgeb 181.1 27 (% class="border" %)
Martin Rathgeb 176.1 28 |Scheitelform |{{formula}}y=a(x-x_S)^2 + y_S{{/formula}}
Martin Rathgeb 162.1 29 |Hauptform |{{formula}}y=ax^2+bx+c{{/formula}}
30 |Produktform |{{formula}}y=a(x-x_1)(x-x_2){{/formula}}
31 |Gestreckte Normalform |{{formula}}}y=a(x^2+px+q){{/formula}}
Martin Rathgeb 158.1 32
Martin Rathgeb 181.1 33 Es gelten folgende Beziehungen zwischen den Parametern, wobei der übersichtlicheren Notation wegen die Bezeichnung {{formula}}}y_S^*=\frac{y_S^*}{a}{{/formula}} verwendet wurde.
Martin Rathgeb 178.1 34
Martin Rathgeb 181.1 35 (% class="border" %)
Martin Rathgeb 180.1 36 |Nr. |Von |Zu |Beziehungen
37 |1 |Scheitelform |pq-Form |{{formula}}p = -2x_S, \, q = x_S^2 + y_S^*{{/formula}}
38 |2 |pq-Form |Scheitelform |{{formula}}x_S = -\frac{p}{2}, \, y_S^* = -\frac{p^2}{4} + q{{/formula}}
39 |3 |Scheitelform |Produktform |{{formula}}x_1 = x_S - \sqrt{-y_S^*}, \, x_2 = x_S + \sqrt{-y_S^*}{{/formula}}
40 |4 |pq-Form |Produktform |{{formula}}x_1 = -\frac{p}{2} + \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}, \, x_2 = -\frac{p}{2} - \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}{{/formula}}
41 |5 |Produktform |pq-Form |{{formula}}p = -(x_1 + x_2), \, q = x_1 x_2{{/formula}}
42 |6 |Produktform |Scheitelform |{{formula}}x_S = \frac{x_1 + x_2}{2}, \, y_S^* = -\frac{(x_2 - x_1)^2}{4}{{/formula}}
Martin Rathgeb 178.1 43
Martin Rathgeb 182.1 44 (% class="abc" %)
45 1. (((Seine dortigen Beispiele mögen hier der Übung des Darstellungswechsels dienen. Ermittle (falls möglich) aus der gegebenen Hauptform die //Produktform//. Folge in Vorgehen und Darstellung obigen Beispielen (dem konkreten und dem allgemeinen).
Martin Rathgeb 131.1 46 (% class="border slim" %)
Martin Rathgeb 182.1 47 |Nr. |Hauptform |Scheitelform |Produktform
Martin Rathgeb 183.1 48 |1 |{{formula}}y = x^2 - 4x + 3{{/formula}} | |
49 |2 | |{{formula}}y = (x - 1)^2 + 4{{/formula}} |
50 |3 | | |{{formula}}y = (x + 2)(x + 2){{/formula}}
Martin Rathgeb 182.1 51 |4 |{{formula}}y = 2x^2 - 8x + 6{{/formula}} |{{formula}}y = 2(x - 2)^2 - 2{{/formula}} |{{formula}}y = 2(x - 1)(x - 3){{/formula}}
Martin Rathgeb 183.1 52 |5 | |{{formula}}y = (x + 3)^2 - 9{{/formula}} |
53 |6 | | |{{formula}}y = (x - 4)(x - 2){{/formula}}
54 |7 |{{formula}}y = x^2 + 2x + 5{{/formula}} | |
55 |8 | |{{formula}}y = (x - 2)^2{{/formula}} |
56 |9 | | |{{formula}}y = (x - 2)(x - 3){{/formula}}
Martin Rathgeb 125.1 57
58 )))
Martin Rathgeb 162.1 59 1. (((Begründe, dass gilt:
Martin Rathgeb 168.1 60 i. {{formula}}\frac{b}{a}=p{{/formula}} und {{formula}}\frac{c}{a}=q{{/formula}}
61 ii. {{formula}}2x_S=x_1+x_2=-p{{/formula}} und {{formula}}x_1\cdot x_2=q{{/formula}}
Martin Rathgeb 174.1 62 iii. {{formula}}x_S=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-p}{2}{{/formula}} und {{formula}}y_S=f(x_S){{/formula}}
Martin Rathgeb 162.1 63 )))
64 1. Ermittle zu den in a) gegebenen Hauptformen der Parabelgleichungen die Scheitelformen.
Martin Rathgeb 168.1 65 1. Zeige, dass die (zur Gleichung kondensierte) Methode die pq-Formel liefert.
66 //Anmerkung//. Dies wird am Ende des Videos gezeigt; weiter wird aus der pq-Formel die abc-Formel hergeleitet.
Martin Rathgeb 118.1 67 {{/aufgabe}}
68
Dirk Tebbe 84.1 69 {{aufgabe id="Weg zur Schule" afb="I" kompetenzen="K1,K3,K4" quelle="Ute Jutt, Ronja Franke" cc="BY-SA" zeit="20"}}
70 Kay möchte die Laufzeit für den Weg vom Bahnhof zur Schule berechnen. Die Laufzeit wird modelliert durch die Funktion {{formula}}t{{/formula}} mit {{formula}}t(v)= \frac{d}{v}{{/formula}} (Geschwindigkeit {{formula}}v{{/formula}} in km/min; Entfernung {{formula}}d{{/formula}} in km; Laufzeit {{formula}}t(v){{/formula}} in min). Eine Messung hat ergeben, dass die Schule vom Bahnhof 5 km entfernt liegt.
Martin Rathgeb 59.1 71
Martin Rathgeb 100.1 72 (% class="abc" %)
Dirk Tebbe 84.1 73 1. Erstelle die Funktion {{formula}}t{{/formula}}, die die benötigte Zeit in Minuten in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit {{formula}}v{{/formula}} in km/h beschreibt.
74 1. Bestimme die Definitionslücke der Funktion {{formula}}t{{/formula}}.
75 1. Erläutere, warum es in diesem Kontext sinnvoll ist, eine Definitionslücke zu haben.
76 1. Zeichne den Graphen der Funktion {{formula}}t{{/formula}} und markiere die Definitionslücke.
Martin Rathgeb 59.1 77 {{/aufgabe}}
78
Martin Rathgeb 58.1 79 {{aufgabe id="Potenzgleichungen lösen - graphisch und rechnerisch" afb="II" zeit="15" kompetenzen="K4,K5" quelle="Martin Stern, Niklas Wunder" cc="BY-SA"}}
Martin Rathgeb 55.1 80 Gegeben sind die Funktionen //f// und //g// mit den Funktionsgleichungen {{formula}}f(x)=\sqrt{-x+1}{{/formula}} und {{formula}} g(x)=-\sqrt{x+5}+3 {{/formula}}.
Holger Engels 50.1 81
Martin Rathgeb 100.1 82 (% class="abc" %)
Holger Engels 50.1 83 1. Gib jeweils die maximale Defintionsmenge und den zugehörigen Wertebereich an.
Martin Rathgeb 56.3 84 1. Zeichne die Funktionsgraphen zu den Funktionen in ein gemeinsammes Koordinatensystem im Intervall {{formula}}[-6; +2]{{/formula}}.
Martin Rathgeb 99.1 85 1. Bestimme die Lösungen der Wurzelgleichung {{formula}}f(x) = g(x){{/formula}} graphisch.
Kim Fujan 57.1 86 1. Berechne die Lösungen und vergleiche deine berechneten Lösungen mit den graphischen Lösungen aus c).
Niklas Wunder 20.1 87 {{/aufgabe}}
88
Kim Fujan 63.1 89 {{aufgabe id="Lineare Regression" afb="II" zeit="10" kompetenzen="K3, K4, K5" quelle="Universität Köln Dr.C.Lange" cc="BY-SA"}}
Niklas Wunder 27.1 90 Nachfolgend ist die Menge freier Chlorreste in ppm (parts per million) in Schwimmbecken als Funktion der Zeit (in Stunden)
Niklas Wunder 45.1 91 nach der Behandlung mit Chemikalien angegeben
92
Niklas Wunder 33.1 93 |=Zeit|2|4|6|8|10|12|
Martin Rathgeb 55.6 94 |=Menge|1,7|1,5|1,2|1,0|1,0|0,8|
Niklas Wunder 36.1 95
Martin Rathgeb 101.1 96 (% class="abc" %)
Martin Rathgeb 55.5 97 1. Bestimme mit Hilfe des Taschenrechners eine Ausgleichsgerade für die gegebenen Messwerte. Notiere auch den Korrelationskoeffizienten r.
98 1. Berechne mit Hilfe deiner Ausgleichsgeraden einen Näherungswert zum Zeitpunkt 7 Stunden nach dem Messbeginn.
Niklas Wunder 26.1 99 {{/aufgabe}}
100
Kim Fujan 63.1 101 {{aufgabe id="Korrelation" afb="II" zeit="15" kompetenzen="K1, K3, K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA"}}
Holger Engels 50.1 102 Die Tabelle gibt Daten aus seriösen Quellen über die Anzahl der Storchenpaare und die Einwohneranzahl in den Jahren 1930 bis 1936 in Oldenburg wieder.
Niklas Wunder 45.1 103
Niklas Wunder 44.1 104 |=Jahr|1930|1931|1932|1933|1934|1935|1936
105 |=Anzahl der Storchenpaare|132|142|166|188|240|250|252
106 |=Anzahl der Einwohner|55400|55400|65000|67700|69800|72300|76000
Niklas Wunder 45.1 107
Martin Rathgeb 101.1 108 (% class="abc" %)
109 1. Bestimme die Ausgleichsgerade zwischen Storchenpaaren und Einwohnerzahlen sowie den Korrelationskoeffizienten.
110 1. Alex behauptet, dass die Störche hauptsächlich für den Einwohnerzuwachs in Oldenburg verantwortlich waren. Nimm dazu begründet Stellung und beziehe den in a) berechneten Korrelationskoeffizienten in deine Begründung mit ein.
Niklas Wunder 37.1 111 {{/aufgabe}}
Niklas Wunder 38.1 112
Kim Fujan 64.1 113 {{aufgabe id="Füllstände" afb="III" zeit="25" kompetenzen="K2, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Problemlösegruppe" cc="BY-SA"}}
114
115 Die beiden abgebildeten Gefäße werden mit Wasser gefüllt. Ist es möglich, dass bei gleichem Füllstand genau gleich viel Wasser in den Gefäßen ist?
116 [[image:Füllstände Gefäße.PNG||width="400"]]
117
118 Finde gegebenenfalls diesen Füllstand und das zugehörige Wasservolumen heraus.
119
120 {{lehrende}}
121 **Variante:** Kleinere Klassenarbeitsaufgabe, Vergleich von Strategien/Lösungen
122 Ani, Ida und Ivo haben diese Fragestellung auf unterschiedliche Art bearbeitet:
123
124 Ani: Systematisches Probieren/Herantasten mithilfe einer Tabelle/Wertetabelle
125 Ida: Näherungsweise graphische Lösung
126 Ivo: Algebraisches Lösen einer Gleichung (Gleichsetzen des Volumens eines Kegels mit dem eines Dreiecksprismas)
127 {{/lehrende}}
128 {{/aufgabe}}
129
Martin Rathgeb 87.1 130
131 {{aufgabe id="Spiegeln an der Winkelhalbierenden" afb="III" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Martin Rathgeb" zeit="12" cc="BY-SA"}}
Martin Rathgeb 99.1 132 Graphische Transformationen gehören zu den Grundwerkzeugen der Mathematik. Neben der Verschiebung und der Streckung in Richtung einer Koordinatenachse bzw. der Spiegelung an einer Koordinatenachse gibt es eine weitere besondere Transformation, nämlich die //Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden//, das ist die Gerade mit der Gleichung {{formula}}y=x{{/formula}}. Diese Spiegelung bewirkt den Koordinatentausch {{formula}}(x|y)\mapsto (y|x){{/formula}}, d.h., die Umkehrung {{formula}}y\mapsto x{{/formula}} der Zuordnung {{formula}}x\mapsto y{{/formula}}.
Martin Rathgeb 108.1 133 Dazu drei Beispiele: Das Spiegelbild der positiv orientierten x-Achse ({{formula}}y=0{{/formula}}, ein Funktionsgraph) ist die positiv orientierte y-Achse ({{formula}}x=0{{/formula}}, kein Funktionsgraph); das Spiegelbild der positiv orientierten y-Achse wiederum ist die positiv orientierte x-Achse; das Spiegelbild der Normalparabel ({{formula}}y=x^2{{/formula}}, ein Funktionsgraph) sind die beiden Wurzeläste ({{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}}) zusammengenommen (kein Funktionsgraph). Betrachten wir das dritte Beispiel genauer: Um aus der Gleichung {{formula}}y=x^2{{/formula}} rechnerisch die Gleichung {{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}} zu ermitteln, löst man zunächst die Gleichung {{formula}}y=x^2{{/formula}} nach {{formula}}x{{/formula}} auf und tauscht dann in der erhaltenen Gleichung {{formula}}x=\pm \sqrt{y}{{/formula}} noch die Variablen gegeneinander aus ({{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}}).
Martin Rathgeb 87.1 134
Martin Rathgeb 111.1 135 Betrachte nun die folgenden drei Gleichungen zu den nachfolgenden Funktionsgraphen: {{formula}}y=2x{{/formula}}, {{formula}}y=(x+2)^2{{/formula}} und {{formula}}y=x^3{{/formula}}.
Martin Rathgeb 93.1 136 [[image:Einheitsuebergreifend2.png||width="400px"]]
Martin Rathgeb 101.1 137
Martin Rathgeb 87.1 138 (% class="abc" %)
Martin Rathgeb 110.1 139 1. Löse die Gleichungen jeweils nach {{formula}}x{{/formula}} auf; du erhältst damit für {{formula}}x{{/formula}} einen Funktionsterm {{formula}}x(y){{/formula}} in {{formula}}y{{/formula}}.
140 1. Führe in den in a) berechneten Termen {{formula}}x(y){{/formula}} den Variablentausch durch, zeichne die Graphen der Umkehrungen zusätzlich ins Koordinatensystem ein und untersuche, wie die Paare von Graphen zur ersten Winkelhalbierenden liegen.
141 1. Die in a) berechneten Terme {{formula}}x(y){{/formula}} sind insbesondere in Monotonieintervallen von {{formula}}f{{/formula}} Funktionsterme von Umkehrfunktionen {{formula}}f^{-1}{{/formula}}. Untersuche die Ausdrücke {{formula}}f^{-1}(y){{/formula}}, indem du {{formula}}f(x){{/formula}} für {{formula}}y{{/formula}} einsetzt, und beschreibe, was dir (an der jeweiligen Vereinfachung) auffällt.
142 1. Abschließend stellt sich die Frage: Weshalb der Definitionsbereich der Funktionen {{formula}}f{{/formula}} (z.B. auf ein Monotonieintervall) verkleinert werden muss, um eine Umkehrfunktion zu erhalten? Begründe diese Einschränkung mit den Ergebnissen aus a) und b).
Martin Rathgeb 87.1 143 {{/aufgabe}}
144
Holger Engels 64.3 145 {{matrix/}}