BPE 2 Einheitsübergreifend

{{aufgabe id="Weg zur Schule" afb="I" kompetenzen="K1,K3,K4" quelle="Ute Jutt, Ronja Franke" cc="BY-SA" zeit="20"}}

Kay möchte die Laufzeit für den Weg vom Bahnhof zur Schule berechnen. Die Laufzeit wird modelliert durch die Funktion {{formula}}t{{/formula}} mit {{formula}}t(v)= \frac{d}{v}{{/formula}} (Geschwindigkeit {{formula}}v{{/formula}} in km/min; Entfernung {{formula}}d{{/formula}} in km; Laufzeit {{formula}}t(v){{/formula}} in min). Eine Messung hat ergeben, dass die Schule vom Bahnhof 5 km entfernt liegt.

5

6

(% style="list-style: alphastyle" %)

7

1. Erstelle die Funktion {{formula}}t{{/formula}}, die die benötigte Zeit in Minuten in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit {{formula}}v{{/formula}} in km/h beschreibt.

8

1. Bestimme die Definitionslücke der Funktion {{formula}}t{{/formula}}.

9

1. Erläutere, warum es in diesem Kontext sinnvoll ist, eine Definitionslücke zu haben.

10

1. Zeichne den Graphen der Funktion {{formula}}t{{/formula}} und markiere die Definitionslücke.

11

12

13

{{aufgabe id="Potenzgleichungen lösen - graphisch und rechnerisch" afb="II" zeit="15" kompetenzen="K4,K5" quelle="Martin Stern, Niklas Wunder" cc="BY-SA"}}

14

Gegeben sind die Funktionen //f// und //g// mit den Funktionsgleichungen {{formula}}f(x)=\sqrt{-x+1}{{/formula}} und {{formula}} g(x)=-\sqrt{x+5}+3 {{/formula}}.

15

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(% style="list-style: alphastyle" %)

17

1. Gib jeweils die maximale Defintionsmenge und den zugehörigen Wertebereich an.

18

1. Zeichne die Funktionsgraphen zu den Funktionen in ein gemeinsammes Koordinatensystem im Intervall {{formula}}[-6; +2]{{/formula}}.

19

1. Bestimme die Lösungen der Wurzelgleichung {{formula}}\sqrt{-x+1} = -\sqrt{x+5}+3{{/formula}} graphisch.

20

1. Berechne die Lösungen und vergleiche deine berechneten Lösungen mit den graphischen Lösungen aus c).

21

22

23

{{aufgabe id="Lineare Regression" afb="II" zeit="10" kompetenzen="K3, K4, K5" quelle="Universität Köln Dr.C.Lange" cc="BY-SA"}}

24

Nachfolgend ist die Menge freier Chlorreste in ppm (parts per million) in Schwimmbecken als Funktion der Zeit (in Stunden)

25

nach der Behandlung mit Chemikalien angegeben

26

27

|=Zeit|2|4|6|8|10|12|

28

|=Menge|1,7|1,5|1,2|1,0|1,0|0,8|

29

30

(% style="list-style: alphastyle" %)

31

1. Bestimme mit Hilfe des Taschenrechners eine Ausgleichsgerade für die gegebenen Messwerte. Notiere auch den Korrelationskoeffizienten r.

32

1. Berechne mit Hilfe deiner Ausgleichsgeraden einen Näherungswert zum Zeitpunkt 7 Stunden nach dem Messbeginn.

33

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35

{{aufgabe id="Korrelation" afb="II" zeit="15" kompetenzen="K1, K3, K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA"}}

36

Die Tabelle gibt Daten aus seriösen Quellen über die Anzahl der Storchenpaare und die Einwohneranzahl in den Jahren 1930 bis 1936 in Oldenburg wieder.

37

38

|=Jahr|1930|1931|1932|1933|1934|1935|1936

39

|=Anzahl der Storchenpaare|132|142|166|188|240|250|252

40

|=Anzahl der Einwohner|55400|55400|65000|67700|69800|72300|76000

41

42

a) Bestimme die Ausgleichsgerade zwischen Storchenpaaren und Einwohnerzahlen sowie den Korrelationskoeffizienten.

43

b) Alex behauptet, dass die Störche hauptsächlich für den Einwohnerzuwachs in Oldenburg verantwortlich waren. Nimm dazu begründet Stellung und beziehe den in a) berechneten Korrelationskoeffizienten in deine Begründung mit ein.

44

45

46

{{aufgabe id="Füllstände" afb="III" zeit="25" kompetenzen="K2, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Problemlösegruppe" cc="BY-SA"}}

47

48

Die beiden abgebildeten Gefäße werden mit Wasser gefüllt. Ist es möglich, dass bei gleichem Füllstand genau gleich viel Wasser in den Gefäßen ist?

49

[[image:Füllstände Gefäße.PNG||width="400"]]

50

51

Finde gegebenenfalls diesen Füllstand und das zugehörige Wasservolumen heraus.

52

53

54

**Variante:** Kleinere Klassenarbeitsaufgabe, Vergleich von Strategien/Lösungen

55

Ani, Ida und Ivo haben diese Fragestellung auf unterschiedliche Art bearbeitet:

56

57

Ani: Systematisches Probieren/Herantasten mithilfe einer Tabelle/Wertetabelle

58

Ida: Näherungsweise graphische Lösung

59

Ivo: Algebraisches Lösen einer Gleichung (Gleichsetzen des Volumens eines Kegels mit dem eines Dreiecksprismas)

{{aufgabe id="Spiegeln an der Winkelhalbierenden" afb="III" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Martin Rathgeb" zeit="12" cc="BY-SA"}}

65

Graphische Transformationen gehören zu den Grundwerkzeugen der Mathematik. Neben Verschiebungen, Streckungen und Spiegelungen an den Achsen gibt es eine besondere Transformation, die in ihrer Bedeutung oft übersehen wird: die Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden, d.h., an der Geraden mit Gleichung {{formula}}y=x{{/formula}}. Diese Transformation ist weit mehr als eine Spielerei, denn sie führt auf die Umkehrung der Funktion.

66

67

Betrachten wir dafür zunächst ein Beispiel, nämlich die Funktionsgleichung {{formula}}f(x)=x^2{{/formula}}. Um die Gleichung für die Umkehrung rechnerisch zu ermitteln, löst man {{formula}}y=x^2{{/formula}} nach //x// auf, d.h.: {{formula}}x=\pm \sqrt{y}{{/formula}}.

\begin{align*}

y=x^2 \;\; | \,\sqrt{\phantomtext}\\

72

x=\sqrt{y}\;\;

73

74

Vertausche x und y miteinander um die Funktionsgleichung des gespiegelten Funktionsgraphens zu erhalten.

y=\sqrt{x}

\end{align*}

Betrachte die folgenden drei Funktionsgleichungen mit ihren nachfolgenden Graphen: {{formula}}f(x)=2x{{/formula}}, {{formula}}f(x)=(x+2)^2{{/formula}} und {{formula}}f(x)=x^3{{/formula}}.

81

[[image:Einheitsuebergreifend2.png||width="400px"]]

82

(% class="abc" %)

83

1. Löse {{formula}}f(x)=y{{/formula}} nach Ersetzung des Funktionswerts {{formula}}f(x){{/formula}} durch den jeweiligen Funktionsterm nach //x// auf; du erhältst damit für //x// einen Funktionsterm in //y//.

84

1. Zeichne die Paare von Graphen und untersuche, wie sie zur ersten Winkelhalbierenden liegen.

85

1. Die in a) berechneten Terme sind die Funktionsterme der Umkehrfunktionen ({{formula}}f^{-1}{{/formula}}). Untersuche jeweils den Ausdruck {{formula}}f^{-1}(y){{/formula}}, in dem du {{formula}}f(x){{/formula}} für //y// einsetzt und beschreibe, was dir (an der jeweiligen Vereinfachung) auffällt.

86

1. Abschließend stellt sich die Frage: Warum muss der Definitionsbereich der Funktion //f// verkleinert werden, wenn die Umkehrfunktion berechnet wird? Begründe diese Einschränkung mit den Ergebnissen aus a) und b).

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		24	Nachfolgend ist die Menge freier Chlorreste in ppm (parts per million) in Schwimmbecken als Funktion der Zeit (in Stunden)
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		31	1. Bestimme mit Hilfe des Taschenrechners eine Ausgleichsgerade für die gegebenen Messwerte. Notiere auch den Korrelationskoeffizienten r.
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		42	a) Bestimme die Ausgleichsgerade zwischen Storchenpaaren und Einwohnerzahlen sowie den Korrelationskoeffizienten.
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		65	Graphische Transformationen gehören zu den Grundwerkzeugen der Mathematik. Neben Verschiebungen, Streckungen und Spiegelungen an den Achsen gibt es eine besondere Transformation, die in ihrer Bedeutung oft übersehen wird: die Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden, d.h., an der Geraden mit Gleichung {{formula}}y=x{{/formula}}. Diese Transformation ist weit mehr als eine Spielerei, denn sie führt auf die Umkehrung der Funktion.
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		67	Betrachten wir dafür zunächst ein Beispiel, nämlich die Funktionsgleichung {{formula}}f(x)=x^2{{/formula}}. Um die Gleichung für die Umkehrung rechnerisch zu ermitteln, löst man {{formula}}y=x^2{{/formula}} nach //x// auf, d.h.: {{formula}}x=\pm \sqrt{y}{{/formula}}.
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