Änderungen von Dokument Lösung Formen von Parabelgleichungen

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -24,8 +24,7 @@
24	24	|8 |{{formula}}y=-\frac{3}{2}(x^2-4x+4){{/formula}}|{{formula}}y = -\frac{3}{2}(x - 2)^2{{/formula}} | {{formula}}y = -\frac{3}{2}(x - 2)^2{{/formula}}
25	25	|9 |{{formula}}y=\sqrt{2}(x^2-5x+6){{/formula}}|{{formula}}y = \sqrt{2}\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{\sqrt{2}}{4}{{/formula}}|{{formula}}y = \sqrt{2}(x - 2)(x - 3){{/formula}}
26	26	)))
27		-1. (((
28		-__Zeile 1 (Scheitelform zur gestreckten Normalform)__:
	27	+1. (((__Zeile 1 (Scheitelform zur gestreckten Normalform)__:
29	29	Umformen der Scheitelform ergibt:
30	30	{{formula}}
31	31	\begin{align*}
...	...	@@ -42,44 +42,4 @@
42	42	Umstellen von {{formula}}q=x_S^2+y_S^*{{/formula}} nach {{formula}}y_S{{/formula}} führt zu {{formula}}y_S=-\frac{p^2}{4}+q{{/formula}}
43	43
44	44	//Alternativ kommt man mit quadratischer Ergänzung von der gestreckten Normalform zur Scheitelform und kann Zeile 2 so begründen.//
45		-
46		-__Zeile 3 (Scheitelform zur Produktform)__:
47		-Um zur Produktform zu gelangen, bestimmen wir die Nullstellen der Scheitelform:
48		-{{formula}}
49		-\begin{align*}
50		-a(x-x_S)^2+y_S&=0 \\
51		-\Leftrightarrow a\left((x-x_S)^2+\frac{y_S}{a}\right)&=0 \\
52		-\Leftrightarrow (x-x_S)^2+y_S^*&=0 \\
53		-\Leftrightarrow (x-x_S)^2&=-y_S^* \\
54		-\end{align*}
55		-{{/formula}}
56		-
57		-Durch Wurzelziehen erhalten wir:
58		-{{formula}}
59		-\begin{align*}
60		-x-x_S&=\pm \sqrt{-y_S^*} \quad \mid +x_S\\
61		-\Leftrightarrow x_{1,2}&=x_S\pm \sqrt{-y_S^*}
62		-\end{align*}
63		-{{/formula}}
64		-
65		-__Zeile 4 (Gestreckte Normalform zur Produktform)__:
66		-
67		-__Zeile 5 (Produktform zur gestreckten Normalform)__:
68		-Ausmultiplizieren führt zu
69		-{{formula}}
70		-\begin{align*}
71		-y&=a(x-x_1)(x-x_2) \\
72		-&=a (x^2-xx_2-xx_1+x_1x_2) \\
73		-&=a(x^2+x(-x_2-x_1)+x_1x_2)
74		-\end{align*}
75		-{{/formula}}
76		-
77		-Koeffizientenvergleich liefert {{formula}}p=(-x_2-x_1){{/formula}} und {{formula}}q=x_1x_2{{/formula}}.
78		-
79		-__Zeile 6 (Produktform zur Scheitelform)__:
80		-Die Nullstellen {{formula}}x_1, x_2{{/formula}} sind direkt aus der Produkform ablesbar.
81		-Wir wissen, dass der Scheitelpunkt der Parabel in der Mitte der beiden Nullstellen liegen muss. Das heißt der x-Wert des Scheitelpunktes ist gegeben durch {{formula}}x_S=\frac{x_1+x_2}{2}{{/formula}}.
82		-Um nun den zugehörigen y-Wert des Scheitelpunktes zu erhalten, setzen wir {{formula}}x_S{{/formula}} in die Gleichung der Produktform ein:
83		-{{formula}}y_S=a(x_S-x_1)(x_S-x_2)=a\left(\frac{x_2-x_1}{2}\right)\left(-\frac{x_2-x_1}{2}\right)=a\cdot \left(-\frac{(x_2-x_1)^2}{4}\right){{/formula}}
84		-Somit ist {{formula}}y_S^*=\frac{y_S}{a}= -\frac{(x_2-x_1)^2}{4}{{/formula}}.
85	85	)))