Änderungen von Dokument Lösung Formen von Parabelgleichungen

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -24,14 +24,13 @@
24	24	|8 |{{formula}}y=-\frac{3}{2}(x^2-4x+4){{/formula}}|{{formula}}y = -\frac{3}{2}(x - 2)^2{{/formula}} | {{formula}}y = -\frac{3}{2}(x - 2)^2{{/formula}}
25	25	|9 |{{formula}}y=\sqrt{2}(x^2-5x+6){{/formula}}|{{formula}}y = \sqrt{2}\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{\sqrt{2}}{4}{{/formula}}|{{formula}}y = \sqrt{2}(x - 2)(x - 3){{/formula}}
26	26	)))
27		-1. (((
28		-__Zeile 1 (Scheitelform zur gestreckten Normalform)__:
	27	+1. (((__Zeile 1 (Scheitelform zur gestreckten Normalform)__:
29	29	Umformen der Scheitelform ergibt:
30	30	{{formula}}
31	31	\begin{align*}
32	32	y&=a(x-x_S)^2+y_S \quad \mid \text{2. binomische Formel}\\
33	33	&= a(x^2-2x_Sx+x_S^2)+y_S \\
34		- &=a\left(x^2-2x_Sx+x_S^2+\frac{y_S}{a}\right)
	33	+ &=a(x^2-2x_Sx+x_S^2+\frac{y_S}{a})
35	35	\end{align*}
36	36	{{/formula}}
37	37
...	...	@@ -47,10 +47,10 @@
47	47	Um zur Produktform zu gelangen, bestimmen wir die Nullstellen der Scheitelform:
48	48	{{formula}}
49	49	\begin{align*}
50		-a(x-x_S)^2+y_S&=0 \\
51		-\Leftrightarrow a\left((x-x_S)^2+\frac{y_S}{a}\right)&=0 \\
52		-\Leftrightarrow (x-x_S)^2+y_S^*&=0 \\
53		-\Leftrightarrow (x-x_S)^2&=-y_S^* \\
	49	+a(x-x_S)^2+y_S=0 \\
	50	+\Leftrightarrow a\left((x-x_S)^2+\frac{y_S}{a}\right)=0 \\
	51	+\Leftrightarrow (x-x_S)^2+y_S^*=0 \\
	52	+\Leftrightarrow (x-x_S)^2=-y_S^* \\
54	54	\end{align*}
55	55	{{/formula}}
56	56
...	...	@@ -57,39 +57,16 @@
57	57	Durch Wurzelziehen erhalten wir:
58	58	{{formula}}
59	59	\begin{align*}
60		-x-x_S&=\pm \sqrt{-y_S^*} \quad \mid +x_S\\
61		-\Leftrightarrow x_{1,2}&=x_S\pm \sqrt{-y_S^*}
	59	+x-x_S=\pm \sqrt{-y_S^*} \quad \mid +x_S\\
	60	+\Leftrightarrow x_{1,2}=x_S\pm \sqrt{-y_S^*}
62	62	\end{align*}
63	63	{{/formula}}
64	64
65		-__Zeile 4 (Gestreckte Normalform zur Produktform)__:
66		-Um zur Produktform zu gelangen, bestimmen wir mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) die Nullstellen der gestreckten Normalform:
67		-{{formula}}
68		-\begin{align*}
69		-&a(x^2+px+q)=0 \\
70		-&\Leftrightarrow x^2+px+q=0 \\
71		-&\Rightarrow x_{1,2}=\frac{-p\pm \sqrt{p^2-4\cdot1\cdot q}}{2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}
72		-\end{align*}
73		-{{/formula}}
74		-
75		-//Alternativ kann man die Gleichungen aus Zeile 2 ({{formula}}x_S=-\frac{p}{2}{{/formula}} und {{formula}}y_S=-\frac{p^2}{4}+q{{/formula}}) in die Gleichungen in Zeile 3 ein, um die Gleichungen in Zeile 4 zu erhalten.//
76		-
77		-__Zeile 5 (Produktform zur gestreckten Normalform)__:
78		-Ausmultiplizieren führt zu
79		-{{formula}}
80		-\begin{align*}
81		-y&=a(x-x_1)(x-x_2) \\
82		-&=a (x^2-xx_2-xx_1+x_1x_2) \\
83		-&=a(x^2+x(-x_2-x_1)+x_1x_2)
84		-\end{align*}
85		-{{/formula}}
86		-
87		-Koeffizientenvergleich liefert {{formula}}p=(-x_2-x_1)=-(x_1+x_2){{/formula}} und {{formula}}q=x_1x_2{{/formula}}.
88		-
89	89	__Zeile 6 (Produktform zur Scheitelform)__:
90	90	Die Nullstellen {{formula}}x_1, x_2{{/formula}} sind direkt aus der Produkform ablesbar.
91	91	Wir wissen, dass der Scheitelpunkt der Parabel in der Mitte der beiden Nullstellen liegen muss. Das heißt der x-Wert des Scheitelpunktes ist gegeben durch {{formula}}x_S=\frac{x_1+x_2}{2}{{/formula}}.
92	92	Um nun den zugehörigen y-Wert des Scheitelpunktes zu erhalten, setzen wir {{formula}}x_S{{/formula}} in die Gleichung der Produktform ein:
93		-{{formula}}y_S=a(x_S-x_1)(x_S-x_2)=a\left(\frac{x_2-x_1}{2}\right)\left(-\frac{x_2-x_1}{2}\right)=a\cdot \left(-\frac{(x_2-x_1)^2}{4}\right){{/formula}}
	68	+{{formula}}y_S=a(x_S-x_1)(x_S-x_2)=a\frac{x_2-x_1}{2}\cdot\left(-\frac{x_2-x_1}{2}\right)=a\cdot \left(-\frac{(x_2-x_1)^2}{4}\right){{/formula}}
94	94	Somit ist {{formula}}y_S^*=\frac{y_S}{a}= -\frac{(x_2-x_1)^2}{4}{{/formula}}.
	70	+{{formula}}
95	95	)))