BPE 2.1 Funktionstypen und deren Eigenschaften

Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2024/11/06 00:28

Inhalt

AFB I Erkunden (Paar von Potenzfunktionen) - Wertetabelle Erkunden (eine Potenzfunktion) - Wertetabelle Erkunden - Graph und Asymptoten (gerader Parameter) Erkunden - Graph und Asymptoten (ungerader Parameter) Abbildungsketten D und W Symmetrie nachweisen
AFB II Venn - Eigenschaften Stetigkeit - Anschauliche Einführung Stetigkeitsbetrachtungen
AFB III Umkehrung

K4 Ich kann Graphen von Potenzfunktionen skizzieren
K1 K5 Ich kann die Eigenschaften von Potenzfunktionen ausgehend von den Funktionstermen erläutern
K1 K4 Ich kann die Eigenschaften von Potenzfunktionen ausgehend von den Funktionsgraphen erläutern
K1 Ich kann den Stetigkeitsbegriff anschaulich anhand der Graphen von Potenzfunktionen erläutern

Aufgabe 1 Erkunden (Paar von Potenzfunktionen) - Wertetabelle 𝕃

Ergänze für die Funktionsgleichung folgende Wertetabelle (wo möglich).
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1 400 900 1600 2500 3600 4900 6400 8100 10000
Ergänze für die Funktionsgleichung $g(x)=x^{1/2}$ folgende Wertetabelle (wo möglich).
-1 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
-1 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Erkennst du eine Symmetrie?
Beschreibe das Randverhalten der Funktionen und nenne ihre Wertemengen.

AFB I	Kompetenzen K4 K5 K6	Bearbeitungszeit 7 min
Quelle Holger Engels, Martin Rathgeb		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 2 Erkunden (eine Potenzfunktion) - Wertetabelle 𝕃

Untersuche die Funktion f mit $f(x)=\frac{1}{x}$ und Definitionsbereich $\mathbb{R}^*$ im Hinblick auf ihr Randverhalten und ihre Wertemenge. Ergänze dafür zunächst folgende Wertetabellen (wo möglich).

Randverhalten: Verhalten im Unendlichen
1) Verhalten gegen plus Unendlich ( $+\infty$ )
$+10^{12}$
0
2) Verhalten gegen minus Unendlich ( $-\infty$ )
$-10^{12}$
0
Randverhalten: Verhalten nahe der Definitionslücke ( $x \approx 0$ )
1) Verhalten links bei der Definitionslücke ( $x \approx 0$ mit )
$-10^{-6}$ $-10^{-9}$ $-10^{-12}$ 0
2) Verhalten rechts bei der Definitionslücke ( $x \approx 0$ mit )
$+10^{-6}$ $+10^{-9}$ $+10^{-12}$ 0
Erkennst du eine Symmetrie?
Beschreibe das Randverhalten der Funktion und nenne ihre Wertemenge.

AFB I	Kompetenzen K4 K5 K6	Bearbeitungszeit 9 min
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Aufgabe 3 Erkunden - Graph und Asymptoten (gerader Parameter) 𝕃

Gegeben sind drei Funktionsgleichungen f(x)=x^2 , $g(x)=x^{1/2}$ und $h(x)=x^{-2}$ .

Gib jeweils den maximalen Definitionsbereich mit zugehörigem Wertebereich an.
Skizziere jeweils den Graphen der Funktion ggf. mit Asymptoten; benutze dafür ein gemeinsames Koordinatensystem, dessen x-Achse von geht.
Erkennst du bei einem Graphen bzw. zwischen zwei Graphen eine Symmetrie?

AFB I	Kompetenzen K4 K5	Bearbeitungszeit 12 min
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Aufgabe 4 Erkunden - Graph und Asymptoten (ungerader Parameter) 𝕃

Gegeben sind drei Funktionsgleichungen f(x)=x^3 , $g(x)=x^{1/3}$ und $h(x)=x^{-3}$ .

Gib jeweils den maximalen Definitionsbereich mit zugehörigem Wertebereich an.
Skizziere jeweils die Graphen der Funktionen ggf. mit ihren Asymptoten; benutze dafür ein gemeinsames Koordinatensystem, dessen x- und y-Achse jeweils von geht.
Erkennst du bei einem Graphen bzw. zwischen zwei Graphen eine Symmetrie?

AFB I	Kompetenzen K4 K5	Bearbeitungszeit 12 min
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Aufgabe 5 Abbildungsketten 𝕃

Gegeben seien die Funktionen f und g mit f(x) = x^2 und $g(x) = \sqrt{x}$ . Fülle jeweils die Lücken aus:

$+2\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{f}}\square\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{g}}\square$
$-2\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{f}}\square\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{g}}\square$
$+4\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{g}}\square\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{f}}\square$
$-4\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{g}}\square\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{f}}\square$
$\square\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{f}}4\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{g}}\square$
$-3\mathop{\longmapsto}\limits^{\square}9\mathop{\longmapsto}\limits^{\square}-3$

Lassen sich alle Kästchen befüllen? Ist es immer eindeutig, welche Zahlen in die Kästchen geschrieben werden können?
$\emph{Rückblick:}$ Gib für die Gleichung x^2=y_0

die Anzahl an Lösungen in Abhängigkeit vom Parameter y_0

an.

Seien die Funktionen f und g nun definiert durch f(x) = x^3 und $g(x) = \sqrt[3]{x}$ .

$+2\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{f}}\square\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{g}}\square$
$-2\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{f}}\square\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{g}}\square$
$+8\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{g}}\square\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{f}}\square$
$-8\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{g}}\square\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{f}}\square$
$\square\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{f}}-27\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{g}}\square$
$-2\mathop{\longmapsto}\limits^{\square}8\mathop{\longmapsto}\limits^{\square}2$

Lassen sich hier alle Kästchen befüllen? Ist es hier nun eindeutig, welche Zahlen in die Kästchen geschrieben werden können?
$\emph{Rückblick:}$ Gib für die Gleichung x^3=y_0

die Anzahl an Lösungen in Abhängigkeit vom Parameter y_0

an.

AFB I	Kompetenzen K4	Bearbeitungszeit 10 min
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Aufgabe 6 D und W 𝕃

Gib jeweils den maximalen Definitionsbereich mit zugehörigem Wertebereich an und skizziere die Graphen der Funktionen ggf. mit ihren Asymptoten:

$f(x)=\frac{1}{x-2}+1$
$g(x)=\sqrt{x+2}-1$

AFB I	Kompetenzen K4	Bearbeitungszeit 8 min
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Aufgabe 7 Symmetrie nachweisen 𝕃

Untersuche die folgenden Funktionen (jeweils maximaler Definitionsbereich) rechnerisch auf Symmetrie zum Ursprung und Symmetrie zur y-Achse.

$f(x)=\frac{5}{x}$
$f(x)=\frac{5}{x}+1$
$f(x)=\frac{5}{x^2}$
$f(x)=\frac{5}{x^2}+1$

AFB I	Kompetenzen K1 K5	Bearbeitungszeit 5 min
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Aufgabe 8 Venn - Eigenschaften 𝕃

Gib für jedes Feld A .. H eine passende Funktion $f(x)=a\cdot x^n$ an. Sollte ein Feld nicht gefüllt werden können, begründe bitte, warum es nicht geht.

A
B
C
D
E
F
G
H

Zusatzaufgabe: Finde möglichst einfache/ komplexe Lösungen.

#problemlösen

AFB II	Kompetenzen K2 K4 K5	Bearbeitungszeit 8 min
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Aufgabe 9 Stetigkeit - Anschauliche Einführung 𝕃

Sascha behauptet, die Funktion f mit $f(x) = \frac{1}{x}$ sei auf ihrem maximalen Definitionsbereich nicht stetig, weil man ihren Graphen nicht ohne Absetzen zeichnen kann. Nimm dazu Stellung!

AFB II	Kompetenzen K1 K6	Bearbeitungszeit 3 min
Quelle Martin Rathgeb, Holger Engels		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 10 Stetigkeitsbetrachtungen 𝕃

Beurteile für jedes Schaubild, ob der Graph zu einer (zusammengesetzten) Funktion gehören kann und ob diese im dargestellten Bereich stetig ist!
Stetigkeit o.svg Stetigkeit ee.svg Stetigkeit ie.svg Stetigkeit ei.svg Stetigkeit ii.svg Stetigkeit lee.svg Hinweis:
⬤ schließt den Punkt ein
⭘ schließt ihn aus

AFB II	Kompetenzen K4 K6	Bearbeitungszeit 5 min
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Aufgabe 11 Umkehrung (M+) 𝕃

Sascha formuliert die beiden nachfolgenden Behauptungen. Nimm dazu Stellung!

Die Funktion f mit $f(x) = \frac{1}{x}$ sei auf ihrem maximalen Definitionsbereich ihre eigene Umkehrfunktion.
Die Funktion f mit $f(x) = \frac{1}{x^2}$ sei auf ihrem maximalen Definitionsbereich ihre eigene Umkehrfunktion.

AFB III	Kompetenzen K1 K2 K5	Bearbeitungszeit 7 min
Quelle Martin Rathgeb, Holger Engels		Lizenz CC BY-SA

Kompetenzmatrix und Seitenreflexion

	K1	K2	K4	K5	K6
I	1	0	6	5	2
II	1	1	2	1	2
III	1	1	0	1	0

Bearbeitungszeit gesamt: 86 min

Abdeckung Bildungsplan
Abdeckung Kompetenzen
Abdeckung Anforderungsbereiche
Eignung gemäß Kriterien
Umfang gemäß Mengengerüst