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Zuletzt geändert von Holger Engels am 2025/12/11 12:59
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1 {{seiteninhalt/}}
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3 [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Graphen von Potenzfunktionen skizzieren
4 [[Kompetenzen.K1]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Eigenschaften von Potenzfunktionen ausgehend von den Funktionstermen erläutern
5 [[Kompetenzen.K1]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Eigenschaften von Potenzfunktionen ausgehend von den Funktionsgraphen erläutern
6 [[Kompetenzen.K1]] Ich kann den Stetigkeitsbegriff anschaulich anhand der Graphen von Potenzfunktionen erläutern
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8 {{lernende}}
9 [[KMap - Interaktiv Erkunden>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Potenzfunktionen/Allgemeine%20Form#erkunden]]
10 {{/lernende}}
11
12 {{lehrende}}
13 **Unterrichtsidee** [[Hyperbel aus Rechtecken mit gleichem Flächeninhalt>>Eingangsklasse.BPE_2L.Hyperbel aus Rechtecken gleichen Flächeninhalts.WebHome]]
14 {{/lehrende}}
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16 {{comment}}
17 {{aufgabe id="Erkunden (Paar von Potenzfunktionen) - Wertetabelle" afb="I" kompetenzen="K4,K5,K6" zeit="7" quelle="Holger Engels, Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
18 (% style="list-style: alphastyle" %)
19 1. Ergänze für die Funktionsgleichung {{formula}}f(x)=x^2{{/formula}} folgende Wertetabelle (wo möglich).
20 ((((% class="border" style="width:100%" %)
21 |={{formula}}x{{/formula}}|-1|| 0| 1| 2| 3| 4| 5| 6| 7| 8| 9| 10|||||||||
22 |={{formula}}f(x){{/formula}}||-1||||||||||||400|900|1600|2500|3600|4900|6400|8100|10000
23 )))
24 1. Ergänze für die Funktionsgleichung {{formula}}g(x)=x^{1/2}{{/formula}} folgende Wertetabelle (wo möglich).
25 ((((% class="border" style="width:100%" %)
26 |={{formula}}x{{/formula}}|-1||0|1|4|9|16|25|36|49|64|81|100|||||||||
27 |={{formula}}g(x){{/formula}}||-1||||||||||||20|30|40|50|60|70|80|90|100
28 )))
29 1. Erkennst du eine Symmetrie?
30 1. Beschreibe das Randverhalten der Funktionen und nenne ihre Wertemengen.
31 {{/aufgabe}}
32
33 {{aufgabe id="Erkunden (eine Potenzfunktion) - Wertetabelle" afb="I" kompetenzen="K4,K5,K6" zeit="9" quelle="Holger Engels, Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
34 Untersuche die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=\frac{1}{x}{{/formula}} und Definitionsbereich {{formula}}\mathbb{R}^*{{/formula}} im Hinblick auf ihr Randverhalten und ihre Wertemenge. Ergänze dafür zunächst folgende Wertetabellen (wo möglich).
35
36 (% style="list-style: alphastyle" %)
37 1. (((Randverhalten: Verhalten im Unendlichen
38 1) Verhalten gegen plus Unendlich ({{formula}}+\infty{{/formula}})
39 (% class="border" %)
40 |={{formula}}x{{/formula}}| {{formula}}+1{{/formula}}| {{formula}}+10{{/formula}}| {{formula}}+100{{/formula}}| {{formula}}+1000{{/formula}}| {{formula}}+10^6{{/formula}}| {{formula}}+10^9{{/formula}}| {{formula}}+10^{12}{{/formula}}|
41 |={{formula}}f(x){{/formula}}||||||||0
42
43 2) Verhalten gegen minus Unendlich ({{formula}}-\infty{{/formula}})
44 (% class="border" %)
45 |={{formula}}x{{/formula}}| {{formula}}-1{{/formula}}| {{formula}}-10{{/formula}}| {{formula}}-100{{/formula}}| {{formula}}-1000{{/formula}}| {{formula}}-10^6{{/formula}}| {{formula}}-10^9{{/formula}}|{{formula}}-10^{12}{{/formula}}|
46 |={{formula}}f(x){{/formula}}||||||||0
47 )))
48 1. (((Randverhalten: Verhalten nahe der Definitionslücke ({{formula}}x \approx 0{{/formula}})
49 1) Verhalten links bei der Definitionslücke ({{formula}}x \approx 0{{/formula}} mit {{formula}}x<0{{/formula}})
50 (% class="border" %)
51 |={{formula}}x{{/formula}}| {{formula}}-1{{/formula}}| {{formula}}-0,1{{/formula}}| {{formula}}-0,01{{/formula}}| {{formula}}-0,001{{/formula}}| {{formula}}-10^{-6}{{/formula}}| {{formula}}-10^{-9}{{/formula}}| {{formula}}-10^{-12}{{/formula}}|0
52 |={{formula}}f(x){{/formula}}||||||||
53
54 2) Verhalten rechts bei der Definitionslücke ({{formula}}x \approx 0{{/formula}} mit {{formula}}x>0{{/formula}})
55 (% class="border" %)
56 |={{formula}}x{{/formula}}| {{formula}}+1{{/formula}}| {{formula}}+0,1{{/formula}}| {{formula}}+0,01{{/formula}}| {{formula}}+0,001{{/formula}}| {{formula}}+10^{-6}{{/formula}}| {{formula}}+10^{-9}{{/formula}}| {{formula}}+10^{-12}{{/formula}}|0
57 |={{formula}}f(x){{/formula}}||||||||
58 )))
59 1. Erkennst du eine Symmetrie?
60 1. Beschreibe das Randverhalten der Funktion und nenne ihre Wertemenge.
61 {{/aufgabe}}
62 {{/comment}}
63
64 {{aufgabe id="Erkunden - Graph und Asymptoten (gerader Parameter)" afb="I" kompetenzen="K4,K5" zeit="12" quelle="Holger Engels, Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
65 Gegeben sind drei Funktionsgleichungen {{formula}}f(x)=x^2{{/formula}}, {{formula}}g(x)=x^{1/2}{{/formula}} und {{formula}}h(x)=x^{-2}{{/formula}}.
66 (% style="list-style: alphastyle" %)
67 1. Gib jeweils den maximalen Definitionsbereich mit zugehörigem Wertebereich an.
68 1. Skizziere jeweils den Graphen der Funktion ggf. mit Asymptoten; benutze dafür ein gemeinsames Koordinatensystem, dessen x-Achse von {{formula}}[-3; +3]{{/formula}} geht.
69 1. Erläutere die Symmetrien, die bei den Graphen bzw. zwischen den Graphen erkennbar sind.
70 {{/aufgabe}}
71
72 {{aufgabe id="Erkunden - Graph und Asymptoten (ungerader Parameter)" afb="I" kompetenzen="K4,K5" zeit="12" quelle="Holger Engels, Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
73 Gegeben sind drei Funktionsgleichungen {{formula}}f(x)=x^3{{/formula}}, {{formula}}g(x)=x^{1/3}{{/formula}} und {{formula}}h(x)=x^{-3}{{/formula}}.
74 (% style="list-style: alphastyle" %)
75 1. Gib jeweils den maximalen Definitionsbereich mit zugehörigem Wertebereich an.
76 1. Skizziere jeweils die Graphen der Funktionen ggf. mit ihren Asymptoten; benutze dafür ein gemeinsames Koordinatensystem, dessen x- und y-Achse jeweils von {{formula}}[-8; +8]{{/formula}} geht.
77 1. Erläutere die Symmetrien, die bei den Graphen bzw. zwischen den Graphen erkennbar sind.
78 {{/aufgabe}}
79
80 {{aufgabe id="Abbildungsketten" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Holger Engels, Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}}
81 (% style="list-style: alphastyle" %)
82 1. (((Gegeben seien die Funktionen //f// und //g// mit {{formula}}f(x) = x^2{{/formula}} und {{formula}}g(x) = \sqrt{x}{{/formula}}. Bestimme jeweils passende Werte für die Lücken:
83
84 (% class="noborder" %)
85 |{{formula}}+2\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{f}}\square\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{g}}\square{{/formula}}
86 {{formula}}-2\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{f}}\square\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{g}}\square{{/formula}}
87 {{formula}}+4\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{g}}\square\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{f}}\square{{/formula}}
88 {{formula}}-4\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{g}}\square\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{f}}\square{{/formula}}
89 {{formula}}\square\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{f}}4\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{g}}\square{{/formula}}
90 {{formula}}-3\mathop{\longmapsto}\limits^{\square}9\mathop{\longmapsto}\limits^{\square}-3{{/formula}}|Lassen sich alle Kästchen befüllen? Ist es immer eindeutig, welche Zahlen in die Kästchen geschrieben werden können?
91 **Rückblick:** Gib für die Gleichung {{formula}}x^2=y_0{{/formula}} die Anzahl an Lösungen in Abhängigkeit vom Parameter {{formula}}y_0{{/formula}} an.
92 )))
93 1. (((Seien die Funktionen //f// und //g// nun definiert durch {{formula}}f(x) = x^3{{/formula}} und {{formula}}g(x) = \sqrt[3]{x}{{/formula}}. Bestimme jeweils passende Werte für die Lücken:
94
95 (% class="noborder" %)
96 |{{formula}}+2\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{f}}\square\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{g}}\square{{/formula}}
97 {{formula}}-2\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{f}}\square\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{g}}\square{{/formula}}
98 {{formula}}+8\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{g}}\square\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{f}}\square{{/formula}}
99 {{formula}}-8\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{g}}\square\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{f}}\square{{/formula}}
100 {{formula}}\square\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{f}}-27\mathop{\longmapsto}\limits^{\text{g}}\square{{/formula}}
101 {{formula}}-2\mathop{\longmapsto}\limits^{\square}8\mathop{\longmapsto}\limits^{\square}2{{/formula}}|Lassen sich hier alle Kästchen befüllen? Ist es hier nun eindeutig, welche Zahlen in die Kästchen geschrieben werden können?
102 **Rückblick:** Gib für die Gleichung {{formula}}x^3=y_0{{/formula}} die Anzahl an Lösungen in Abhängigkeit vom Parameter {{formula}}y_0{{/formula}} an.
103 )))
104 {{/aufgabe}}
105
106 {{aufgabe id="D und W" afb="I" kompetenzen="K4" zeit="8" quelle="Holger Engels, Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
107 Gib jeweils den maximalen Definitionsbereich mit zugehörigem Wertebereich an und skizziere die Graphen der Funktionen ggf. mit ihren Asymptoten:
108
109 (% style="list-style: alphastyle" %)
110 1. {{formula}}f(x)=\frac{1}{x-2}+1{{/formula}}
111 1. {{formula}}g(x)=\sqrt{x+2}-1{{/formula}}
112 {{/aufgabe}}
113
114 {{aufgabe id="Symmetrie nachweisen" afb="I" kompetenzen="K1, K5" zeit="5" quelle="Holger Engels, Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
115 Untersuche die folgenden Funktionen (jeweils maximaler Definitionsbereich) rechnerisch auf Symmetrie zum Ursprung und Symmetrie zur y-Achse.
116
117 (% style="list-style: alphastyle" %)
118 1. {{formula}}f(x)=\frac{5}{x}{{/formula}}
119 1. {{formula}}f(x)=\frac{5}{x}+1{{/formula}}
120 1. {{formula}}f(x)=\frac{5}{x^2}{{/formula}}
121 1. {{formula}}f(x)=\frac{5}{x^2}+1{{/formula}}
122 {{/aufgabe}}
123
124 {{aufgabe id="Venn - Eigenschaften" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K5" zeit="8" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" tags="problemlösen"}}
125 [[image:venn.svg|| width="500" style="float: left"]]
126 Gib für jedes Feld **A** .. **H** eine passende Funktion {{formula}}f(x)=a\cdot x^n{{/formula}} an. Sollte ein Feld nicht gefüllt werden können, begründe bitte, warum es nicht geht.
127
128 (% style="width: calc(100% - 500px); min-width: 300px" %)
129 |= A |
130 |= B |
131 |= C |
132 |= D |
133 |= E |
134 |= F |
135 |= G |
136 |= H |
137
138 **Zusatzaufgabe:** Finde möglichst einfache/ komplexe Lösungen.
139 {{/aufgabe}}
140
141 {{aufgabe id="Stetigkeit - Anschauliche Einführung" afb="II" kompetenzen="K1,K6" quelle="Martin Rathgeb, Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
142 Sascha behauptet, die Funktion //f// mit {{formula}}f(x) = \frac{1}{x}{{/formula}} sei auf ihrem maximalen Definitionsbereich nicht stetig, weil man ihren Graphen nicht ohne Absetzen zeichnen kann. Nimm dazu Stellung!
143 {{/aufgabe}}
144
145 {{aufgabe id="Stetigkeitsbetrachtungen" afb="II" kompetenzen="K4,K6" quelle="Martin Rathgeb, Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="5"}}
146 Beurteile für jedes Schaubild, ob der Graph zu einer (zusammengesetzten) Funktion gehören kann und ob diese im dargestellten Bereich stetig ist!
147 [[image:Stetigkeit o.svg||style="margin: 8px"]] [[image:Stetigkeit ee.svg||style="margin: 8px"]] [[image:Stetigkeit ie.svg||style="margin: 8px"]] [[image:Stetigkeit ei.svg||style="margin: 8px"]] [[image:Stetigkeit ii.svg||style="margin: 8px"]] [[image:Stetigkeit lee.svg||style="margin: 8px"]] (% style="display: inline-block" %) Hinweis:
148 ⬤ schließt den Punkt ein
149 ⭘ schließt ihn aus
150 {{/aufgabe}}
151
152 {{aufgabe id="Umkehrung" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="Martin Rathgeb, Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="7" niveau="p"}}
153 Sascha formuliert die beiden nachfolgenden Behauptungen. Nimm dazu Stellung!
154 (% style="list-style: alphastyle" %)
155 1. Die Funktion //f// mit {{formula}}f(x) = \frac{1}{x}{{/formula}} sei auf ihrem maximalen Definitionsbereich ihre eigene Umkehrfunktion.
156 1. Die Funktion //f// mit {{formula}}f(x) = \frac{1}{x^2}{{/formula}} sei auf ihrem maximalen Definitionsbereich ihre eigene Umkehrfunktion.
157 {{/aufgabe}}
158
159 {{lehrende}}
160 K3 wird im Bildungsplan nicht genannt, wird aber bei Übergreifend aufgegriffen.
161 {{/lehrende}}
162
163 {{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="3"/}}