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Lösung Symmetrie nachweisen

Version 4.1 von Martin Rathgeb am 2024/11/05 23:02

Vorbemerkung:

Für die angegebenen Funktionsgleichungen ist jeweils $\mathbb{R}^*$ der maximale Definitionsbereich $\bold{D}$ .
Diese Zahlenmenge ist zur y-Achse symmetrisch, denn mit $x\in \mathbb{R}^*$ gilt stets auch $-x\in \mathbb{R}^*$ . Damit ist gezeigt, was verlangt war (alias q.e.d.).
$\emph{Expliziter:}$ Es sei ein $x\in \bold{D}$ gegeben, d.h. $x\in \mathbb{R}^*$ , also gilt $x\in \mathbb{R}$ und $x\ne 0$ . Daraus folgt $-x\in \mathbb{R}$ und $-x\ne 0$ , also gilt $-x\in \mathbb{R}^*$ , d.h. $-x\in \bold{D}$ .
Wenn ein Funktionsgraph K_f symmetrisch zum Ursprung und symmetrisch zur y-Achse ist, dann muss die Funktion eine Nullabbildung ( $x\mapsto 0$ ) sein.
$\emph{Expliziter:}$ Nach Voraussetzung gilt die Termkette , also bzw. $0=2\cdot f(x)$ bzw. .
Die Funktionen in den Teilaufgaben sind offensichtlich keine Nullabbildungen, also ist jeder Nachweis der Symmetrie zum Ursprung zugleich ein Nachweis, dass keine Symmetrie zur y-Achse vorliegt, und umgekehrt ist jeder Nachweis der Symmetrie zur y-Achse zugleich ein Nachweis, dass keine Symmetrie zum Ursprung vorliegt.

Teilaufgaben:

Es gilt allgemein $f(-x)=\frac{5}{-x}=-(\frac{5}{x})=-f(x)$ für jedes $x\in \bold{D}$ , also ist K_f symmetrisch zum Ursprung.
Es zeigt bereits das (Gegen-)Beispiel $f(-1)=-5\ne 5=f(1)$ , dass K_f nicht symmetrisch zur y-Achse ist.
Es zeigt bereits das (Gegen-)Beispiel $f(-1)=-4\ne -6=-f(1)$ , dass K_f nicht symmetrisch zum Ursprung ist.
Es zeigt bereits das (Gegen-)Beispiel $f(-1)=-4\ne 6=f(1)$ , dass K_f nicht symmetrisch zur y-Achse ist.
Es gilt allgemein $f(-x)=\frac{5}{(-x)^2}=\frac{5}{x^2}=f(x)$ für jedes $x\in \bold{D}$ , also ist K_f symmetrisch zur y-Achse.
Es zeigt bereits das (Gegen-)Beispiel $f(-1)=5\ne -5=-f(1)$ , dass K_f nicht symmetrisch zum Ursprung ist.
Es gilt allgemein $f(-x)=\frac{5}{(-x)^2}+1=\frac{5}{x^2}+1=f(x)$ für jedes $x\in \bold{D}$ , also ist K_f symmetrisch zur y-Achse.
Es zeigt bereits das (Gegen-)Beispiel $f(-1)=6\ne -6=-f(1)$ , dass K_f nicht symmetrisch zum Ursprung ist.