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Lösung Umkehrung

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2024/11/05 07:27

Sascha formuliert zwei Behauptungen über Funktionen und ihre Umkehrfunktionen. Untersuchen wir diese genauer:

  1. Die Funktion f mit f(x) = \frac{1}{x} sei auf ihrem maximalen Definitionsbereich ihre eigene Umkehrfunktion.

Definitionsbereich: Der maximale Definitionsbereich von f(x) = \frac{1}{x} ist \mathbb{R} \setminus {0}, da die Division durch Null nicht definiert ist.
Umkehrfunktion: Um die Umkehrfunktion zu finden, vertauschen wir x und y und lösen nach y auf:
x = \frac{1}{y}
y = \frac{1}{x}
Die Umkehrfunktion ist also f^{-1}(x) = \frac{1}{x}.
Da f(x) = f^{-1}(x), ist die Behauptung korrekt. Die Funktion f(x) = \frac{1}{x} ist auf ihrem maximalen Definitionsbereich ihre eigene Umkehrfunktion.

2. Die Funktion f mit f(x) = \frac{1}{x^2} sei auf ihrem maximalen Definitionsbereich ihre eigene Umkehrfunktion.

Definitionsbereich: Der maximale Definitionsbereich von f(x) = \frac{1}{x^2} ist ebenfalls \mathbb{R} \setminus {0}.
Umkehrfunktion: Vertauschen wir wieder x und y und lösen nach y auf:
x = \frac{1}{y^2}
y^2 = \frac{1}{x}
y = \pm \sqrt{\frac{1}{x}}
Hier ergibt sich ein Problem: Für jeden Wert von x (außer 0) erhalten wir zwei mögliche Werte für y. Das bedeutet, die Umkehrfunktion ist nicht eindeutig.

Beispiel: Für x = 4 erhalten wir y = \pm \frac{1}{2}.

Da eine Funktion aber jedem x-Wert nur genau einen y-Wert zuordnen darf, ist y = \pm \sqrt{\frac{1}{x}} keine Funktion.

Daher ist Behauptung 2 falsch. f(x) = \frac{1}{x^2} ist auf ihrem maximalen Definitionsbereich nicht ihre eigene Umkehrfunktion.

Zusatz:

Man könnte den Definitionsbereich von f(x) = \frac{1}{x^2} einschränken, z.B. auf \mathbb{R}_+, also alle positiven reellen Zahlen. Dann wäre die Umkehrfunktion eindeutig und würde mit der Funktion selbst übereinstimmen.