Lösung Umkehrung

Sascha formuliert zwei Behauptungen über Funktionen und ihre Umkehrfunktionen. Untersuchen wir diese genauer:

1. Die Funktion f mit \(f(x) = \frac{1}{x}\) sei auf ihrem maximalen Definitionsbereich ihre eigene Umkehrfunktion.

Definitionsbereich: Der maximale Definitionsbereich von \(f(x) = \frac{1}{x}\) ist \(\mathbb{R} \setminus {0}\), da die Division durch Null nicht definiert ist.
Umkehrfunktion: Um die Umkehrfunktion zu finden, vertauschen wir \(x\) und \(y\) und lösen nach \(y\) auf:
\(x = \frac{1}{y}\)
\(y = \frac{1}{x}\)
Die Umkehrfunktion ist also \(f^{-1}(x) = \frac{1}{x}\).
Da \(f(x) = f^{-1}(x)\), ist die Behauptung korrekt. Die Funktion \(f(x) = \frac{1}{x}\) ist auf ihrem maximalen Definitionsbereich ihre eigene Umkehrfunktion.

2. Die Funktion f mit \(f(x) = \frac{1}{x^2}\) sei auf ihrem maximalen Definitionsbereich ihre eigene Umkehrfunktion.

Definitionsbereich: Der maximale Definitionsbereich von \(f(x) = \frac{1}{x^2}\) ist ebenfalls \(\mathbb{R} \setminus {0}\).
Umkehrfunktion: Vertauschen wir wieder \(x\) und \(y\) und lösen nach \(y\) auf:
\(x = \frac{1}{y^2}\)
\(y^2 = \frac{1}{x}\)
\(y = \pm \sqrt{\frac{1}{x}}\)
Hier ergibt sich ein Problem: Für jeden Wert von \(x\) (außer 0) erhalten wir zwei mögliche Werte für \(y\). Das bedeutet, die Umkehrfunktion ist nicht eindeutig.

Beispiel: Für \(x = 4\) erhalten wir \(y = \pm \frac{1}{2}\).

Da eine Funktion aber jedem x-Wert nur genau einen y-Wert zuordnen darf, ist \(y = \pm \sqrt{\frac{1}{x}}\) keine Funktion.

Daher ist Behauptung 2 falsch. \(f(x) = \frac{1}{x^2}\) ist auf ihrem maximalen Definitionsbereich nicht ihre eigene Umkehrfunktion.

Zusatz:

Man könnte den Definitionsbereich von \(f(x) = \frac{1}{x^2}\) einschränken, z.B. auf \(\mathbb{R}_+\), also alle positiven reellen Zahlen. Dann wäre die Umkehrfunktion eindeutig und würde mit der Funktion selbst übereinstimmen.