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Wiki-Quellcode von Lösung Umkehrung

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2024/11/05 07:27
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1 Sascha formuliert zwei Behauptungen über Funktionen und ihre Umkehrfunktionen. Untersuchen wir diese genauer:
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3 1. Die Funktion //f// mit {{formula}}f(x) = \frac{1}{x}{{/formula}} sei auf ihrem maximalen Definitionsbereich ihre eigene Umkehrfunktion.
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5 **Definitionsbereich:** Der maximale Definitionsbereich von {{formula}}f(x) = \frac{1}{x}{{/formula}} ist {{formula}}\mathbb{R} \setminus {0}{{/formula}}, da die Division durch Null nicht definiert ist.
6 **Umkehrfunktion:** Um die Umkehrfunktion zu finden, vertauschen wir {{formula}}x{{/formula}} und {{formula}}y{{/formula}} und lösen nach {{formula}}y{{/formula}} auf:
7 {{formula}}x = \frac{1}{y}{{/formula}}
8 {{formula}}y = \frac{1}{x}{{/formula}}
9 Die Umkehrfunktion ist also {{formula}}f^{-1}(x) = \frac{1}{x}{{/formula}}.
10 Da {{formula}}f(x) = f^{-1}(x){{/formula}}, ist die Behauptung korrekt. Die Funktion {{formula}}f(x) = \frac{1}{x}{{/formula}} ist auf ihrem maximalen Definitionsbereich ihre eigene Umkehrfunktion.
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12 2. Die Funktion //f// mit {{formula}}f(x) = \frac{1}{x^2}{{/formula}} sei auf ihrem maximalen Definitionsbereich ihre eigene Umkehrfunktion.
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14 **Definitionsbereich:** Der maximale Definitionsbereich von {{formula}}f(x) = \frac{1}{x^2}{{/formula}} ist ebenfalls {{formula}}\mathbb{R} \setminus {0}{{/formula}}.
15 **Umkehrfunktion:** Vertauschen wir wieder {{formula}}x{{/formula}} und {{formula}}y{{/formula}} und lösen nach {{formula}}y{{/formula}} auf:
16 {{formula}}x = \frac{1}{y^2}{{/formula}}
17 {{formula}}y^2 = \frac{1}{x}{{/formula}}
18 {{formula}}y = \pm \sqrt{\frac{1}{x}}{{/formula}}
19 Hier ergibt sich ein Problem: Für jeden Wert von {{formula}}x{{/formula}} (außer 0) erhalten wir zwei mögliche Werte für {{formula}}y{{/formula}}. Das bedeutet, die Umkehrfunktion ist nicht eindeutig.
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21 Beispiel: Für {{formula}}x = 4{{/formula}} erhalten wir {{formula}}y = \pm \frac{1}{2}{{/formula}}.
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23 Da eine Funktion aber jedem x-Wert nur genau einen y-Wert zuordnen darf, ist {{formula}}y = \pm \sqrt{\frac{1}{x}}{{/formula}} keine Funktion.
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25 Daher ist Behauptung 2 falsch. {{formula}}f(x) = \frac{1}{x^2}{{/formula}} ist auf ihrem maximalen Definitionsbereich nicht ihre eigene Umkehrfunktion.
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27 **Zusatz:**
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29 Man könnte den Definitionsbereich von {{formula}}f(x) = \frac{1}{x^2}{{/formula}} einschränken, z.B. auf {{formula}}\mathbb{R}_+{{/formula}}, also alle positiven reellen Zahlen. Dann wäre die Umkehrfunktion eindeutig und würde mit der Funktion selbst übereinstimmen.