Änderungen von Dokument Lösung Probe Wurzelgleichungen

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,4 +1,4 @@
1		-a)
	1	+a) Man errechnet
2	2
3	3	{{formula}}\begin{align*}
4	4	\sqrt{x+4}=x-2 \;\; | \,^2 \\
...	...	@@ -8,13 +8,48 @@
8	8	\end{align*}
9	9	{{/formula}}
10	10
11		-Somit folgt mit dem Lemma vom Nullprodukt (Satz vom Nullprodukt), dass {{formula}} x_1=0 {{/formula}} und {{formula}} x_2=5 {{/formula}} mögliche Lösungen der Gleichung sind.
12		-b)
	11	+Somit folgt mit dem Lemma vom Nullprodukt (Satz vom Nullprodukt), dass {{formula}} x_1=0 {{/formula}} und {{formula}} x_2=5 {{/formula}} mögliche Lösungen der Gleichung sind. Die Probe der beiden Lösungen liefert
	12	+1.Fall {{formula}} x_1=0 {{/formula}}
	13	+{{formula}} \sqrt{x_1+4}=\sqrt{0+4}=2 \neq -2=0-2=x_1-2 {{/formula}}
	14	+liefert eine falsche Aussage, d.h. {{formula}}x_1=0 {{/formula}} ist keine Lösung.\\
	15	+1.Fall {{formula}} x_1=5 {{/formula}}
	16	+{{formula}} \sqrt{x_2+4}=\sqrt{5+4}=3=5-2=x_2-2 {{/formula}}
	17	+liefert eine wahre Aussage, d.h. {{formula}}x_2=5{{/formula}} ist ebenfalls eine Lösung.\\
	18	+Wir erhalten somit die Lösungsmenge {{formula}}L=\lbrace 0;\,5\rbrace{{/formula}}
13	13
14		-{{formula}}\begin{align*}
15		- x^2
	20	+b) Man errechnet
	21	+
	22	+{{formula}}
	23	+ \begin{align*}
	24	+ \sqrt{x-3}=\sqrt{2\,x+3} \;\; |\,^2\\
	25	+ x-3=2\,x+3 \,\, | -x\\
	26	+ -3=x+3 \,\, |-3\\
	27	+ x=-6 \,.
16	16	\end{align*}
17	17	{{/formula}}
18	18
	31	+Wir überprüfen
	32	+{{formula}}
	33	+ \sqrt{x-3}=\sqrt{-6-3}=\sqrt{-9} \,.
	34	+{{/formula}}
	35	+Dies führt auf eine negative Wurzel, die keine reelle Lösung hat. Die Probe ist also negativ und {{formula}} x=-6
	36	+{{/formula}} ist keine Lösung. Die Lösungsmenge lautet demnach {{formula}} L = \emptyset {{/formula}} \,.
	37	+c) Man errechnet
19	19
	39	+{{formula}}
	40	+ \begin{align*}
	41	+ \sqrt{x+27}=6\cdot \sqrt{x-8} \;\; |\,^2 \\
	42	+ x+27 = 36 \cdot (x-8)
	43	+ x+27=36\,x- 288\\
	44	+ 35\,x=315 \\
	45	+ x=9\,.
	46	+\end{align*}
	47	+{{/formula}}
20	20
	49	+Die Probe liefert
	50	+{{formula}}
	51	+\sqrt{x+27}=\sqrt{9+27}=\sqrt{36}=6=6\cdot 1=6\cdot \sqrt{9-8}=6\cdot \sqrt{x-8}\,.
	52	+{{/formula}}
	53	+Die Lösungsmenge ist demnach {{formula}} L=\lbrace 9\rbrace {{/formula}}
	54	+
	55	+