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Zuletzt geändert von Niklas Wunder am 2024/10/14 14:17
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1 a) Man errechnet
2
3 {{formula}}\begin{align*}
4 \sqrt{x+4}=x-2 \;\; | \,^2 \\
5 x+4=(x-2)^2\\
6 x+4=x^2-4x+4 \;\; | \,-x-4\\
7 0=x^2-5x=x\cdot(x-5)
8 \end{align*}
9 {{/formula}}
10
11 Somit folgt mit dem Lemma vom Nullprodukt (Satz vom Nullprodukt), dass {{formula}} x_1=0 {{/formula}} und {{formula}} x_2=5 {{/formula}} mögliche Lösungen der Gleichung sind. Die Probe der beiden Lösungen liefert
12 1.Fall {{formula}} x_1=0 {{/formula}}
13 {{formula}} \sqrt{x_1+4}=\sqrt{0+4}=2 \neq -2=0-2=x_1-2 {{/formula}}
14 liefert eine falsche Aussage, d.h. {{formula}}x_1=0 {{/formula}} ist keine Lösung.\\
15 1.Fall {{formula}} x_1=5 {{/formula}}
16 {{formula}} \sqrt{x_2+4}=\sqrt{5+4}=3=5-2=x_2-2 {{/formula}}
17 liefert eine wahre Aussage, d.h. {{formula}}x_2=5{{/formula}} ist ebenfalls eine Lösung.
18 Wir erhalten somit die Lösungsmenge {{formula}}L=\lbrace 5\rbrace{{/formula}}.
19
20 b) Man errechnet
21
22 {{formula}}
23 \begin{align*}
24 \sqrt{x-3}=\sqrt{2\,x+3} \;\; |\,^2\\
25 x-3=2\,x+3 \,\, | -x\\
26 -3=x+3 \,\, |-3\\
27 x=-6 \,.
28 \end{align*}
29 {{/formula}}
30
31 Wir überprüfen
32 {{formula}}
33 \sqrt{x-3}=\sqrt{-6-3}=\sqrt{-9} \,.
34 {{/formula}}
35 Dies führt auf eine negative Wurzel, die keine reelle Lösung hat. Die Probe ist also negativ und {{formula}} x=-6
36 {{/formula}} ist keine Lösung. Die Lösungsmenge lautet demnach {{formula}} L = \emptyset {{/formula}} .
37 c) Man errechnet
38
39 {{formula}}
40 \begin{align*}
41 \sqrt{x+27}=6\cdot \sqrt{x-8} \;\; |\,^2 \\
42 x+27 = 36 \cdot (x-8)
43 x+27=36\,x- 288\\
44 35\,x=315 \\
45 x=9\,.
46 \end{align*}
47 {{/formula}}
48
49 Die Probe liefert
50 {{formula}}
51 \sqrt{x+27}=\sqrt{9+27}=\sqrt{36}=6=6\cdot 1=6\cdot \sqrt{9-8}=6\cdot \sqrt{x-8}\,.
52 {{/formula}}
53 Die Lösungsmenge ist demnach {{formula}} L=\lbrace 9\rbrace {{/formula}}