BPE 3 Einheitsübergreifend

Zuletzt geändert von Martina Wagner am 2025/01/09 10:20

Inhalt

AFB I Arithmagon Darstellungsformen
AFB II Kosten- und Erlösfunktion Symmetrie mit Prüfkriterien nachweisen Summe und Differenz Summe und Produkt
AFB III Nichomachus

Aufgabe 1 Arithmagon Darstellungsformen

Arithmagon Polynomfunktion Formen.svg

#problemlösen

AFB I	Kompetenzen K2 K4	Bearbeitungszeit 10 min
Quelle Martina, Dirk, Caroline, Martin		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 2 Kosten- und Erlösfunktion

Ein Unternehmen bietet seinen Kunden für eine Testphase ein neues Produkt an. Die Gesamtkosten für dieses Produkt können durch die Funktion mit K(x)=0,2x^3-x^2+4x+8 beschrieben werden, wobei in Mengeneinheiten (ME), in Geldeinheiten (GE).
Der erzielte Erlös ist das Produkt aus dem Verkaufspreis und der Menge und kann mit der Funktion mit E(x)=10x beschrieben werden.

Zeichne das Schaubild der Erlös- und Kostenfunktion in ein gemeinsames Koordinatensystem. Markiere die Gewinnzone, d.h. die Produktionsmenge, für die kein Verlust gemacht wird.
Begründe, dass für 1 ME bzw. für 8 ME die Kosten und der Erlös gleich groß sind.
Bestimme den maximalen Gewinn.
Durch Veränderungen im Produktionsprozess verändert sich die Kostenfunktion zu $K_{neu}(x)=1,88x^2-6,90x+15,02$ . Die Erlösfunktion bleibt unverändert. Überprüfe, ob für diese neue Kostenfunktion $K_{neu}$ die Gewinnzone und der maximal erzielbare Gewinn gleich bleiben.

AFB II	Kompetenzen K2 K4 K5	Bearbeitungszeit 30 min
Quelle Martina Wagner, Dirk Tebbe, Martin Rathgeb, Martin Stern		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 3 Nichomachus 𝕃

„Wenn ich alle natürlichen Zahlen bis zu einer beliebigen Zahl (zum Beispiel bis zu meiner Lieblingszahl) zusammenzähle und dann diese Summe quadriere, erhalte ich dasselbe Ergebnis, wie wenn ich die Zahlen zuerst einzeln hoch drei nehme und dann zusammenzähle.“

Untersuche diese Behauptung. Dazu kannst du bei Bedarf folgende Grafik benutzen:

Gib, sofern diese Behauptung stimmt, eine allgemeine Formel an.

#problemlösen

AFB III	Kompetenzen K2 K5 K4 K1	Bearbeitungszeit 25 min
Quelle Problemlösegruppe		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 4 Symmetrie mit Prüfkriterien nachweisen

Untersuche auf Symmetrie mit den Prüfbedingungen f(-x)=f(x) bzw. f(-x)=-f(x) .

$f(x)=\frac{x}{x^2-4}$
$f(x)=\frac{x^2}{x^4-x^6}$

AFB II	Kompetenzen K5	Bearbeitungszeit 10 min
Quelle Martina Wagner, Dirk Tebbe, Martin Stern		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 5 Summe und Differenz 𝕃

Gesucht sind zwei ganze Zahlen, deren Mittelwert 21 und deren Differenz 0 ist.
Gesucht sind zwei ganze Zahlen, deren Summe 42 und deren Differenz 0 ist.
Gesucht sind zwei ganze Zahlen, deren Summe 42 und deren Differenz 6 ist.
Ermittle die Zahlen und als Linearkombination in und .
$\begin{bmatrix}x=\square\cdot m+\square\cdot u\\ y=\square\cdot m+\square\cdot u\end{bmatrix}\Leftrightarrow\begin{bmatrix}2m=x+y\\ 2u=x-y\end{bmatrix}$

AFB II	Kompetenzen K2 K5	Bearbeitungszeit 10 min
Quelle Martin Rathgeb		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 6 Summe und Produkt

Gesucht sind zwei ganze Zahlen, deren Mittelwert 10 und deren Produkt 100 ist.
Gesucht sind zwei ganze Zahlen, deren Summe 20 und deren Produkt 100 ist.
Gesucht sind zwei ganze Zahlen, deren Summe 20 und deren Produkt 91 ist.
Gesucht sind zwei ganze Zahlen, deren Summe 20 und deren Produkt um 9 kleiner ist als das Quadrat ihres arithmetischen Mittels.
Gegeben sind Summe und Produkt zweier Zahlen und .
1. Berechne ihren Mittelwert und ihre Abweichung von .
  Ansatz. Schreibe im Produkt $x\cdot y$ die Faktoren als Summe bzw. Differenz von und ; multipliziere aus; löse nach der Abweichung auf.
2. Berechne die beiden Zahlen und .
Gegeben ist eine normierte quadratische Gleichung mit reellen Nullstellen . Erläutere, dass die vorausgegangene Teilaufgabe auf die pq-Formel geführt hat.