BPE 3 Einheitsübergreifend
Inhalt
Inhalt für Lehrende (Anmeldung erforderlich)
Aufgabe 1 Arithmagondarstellungsformen 𝕃
AFB I | Kompetenzen K2 K4 | Bearbeitungszeit 10 min |
Quelle Martina, Dirk, Caroline, Martin | Lizenz CC BY-SA |
Aufgabe 2 Kosten- und Erlösfunktion 𝕃
Ein Unternehmen bietet seinen Kunden für eine Testphase ein neues Produkt an. Die Gesamtkosten für dieses Produkt können durch die Funktion \(K\) mit \(K(x)=0,2x^3-x^2+4x+8\) beschrieben werden, wobei \(x\) in Mengeneinheiten (ME), \(K\) in Geldeinheiten (GE).
Der erzielte Erlös ist das Produkt aus dem Verkaufspreis und der Menge und kann mit der Funktion \(E\) mit \(E(x)=10x\) beschrieben werden.
- Zeichne das Schaubild der Erlös- und Kostenfunktion in ein gemeinsames Koordinatensystem. Markiere die Gewinnzone, d.h. die Produktionsmenge, für die kein Verlust gemacht wird.
- Begründe, dass für 1 ME bzw. für 8 ME die Kosten und der Erlös gleich groß sind.
- Bestimme den maximalen Gewinn.
- Durch Veränderungen im Produktionsprozess verändert sich die Kostenfunktion zu \(K_{neu}(x)=1,88x^2-6,90x+15,02\). Die Erlösfunktion \(E\) bleibt unverändert. Überprüfe, ob für diese neue Kostenfunktion \(K_{neu}\) die Gewinnzone und der maximal erzielbare Gewinn gleich bleiben.
AFB II | Kompetenzen K2 K4 K5 | Bearbeitungszeit 30 min |
Quelle Martina Wagner, Dirk Tebbe, Martin Rathgeb, Martin Stern | Lizenz CC BY-SA |
Aufgabe 3 Nichomachus 𝕃
„Wenn ich alle natürlichen Zahlen bis zu einer beliebigen Zahl (zum Beispiel bis zu meiner Lieblingszahl) zusammenzähle und dann diese Summe quadriere, erhalte ich dasselbe Ergebnis, wie wenn ich die Zahlen zuerst einzeln hoch drei nehme und dann zusammenzähle.“
Untersuche diese Behauptung. Dazu kannst du bei Bedarf folgende Grafik benutzen:
Gib, sofern diese Behauptung stimmt, eine allgemeine Formel an.
AFB III | Kompetenzen K2 K5 K4 K1 | Bearbeitungszeit 25 min |
Quelle Problemlösegruppe | Lizenz CC BY-SA |
Aufgabe 4 Symmetrie mit Prüfkriterien nachweisen 𝕃
Untersuche auf Symmetrie mit den Prüfbedingungen \(f(-x)=f(x)\) bzw. \(f(-x)=-f(x)\).
- \(f(x)=\frac{x}{x^2-4}\)
- \(f(x)=\frac{x^2}{x^4-x^6}\)
AFB II | Kompetenzen K5 | Bearbeitungszeit 10 min |
Quelle Martina Wagner, Dirk Tebbe, Martin Stern | Lizenz CC BY-SA |
Aufgabe 5 Summe und Differenz 𝕃
- Gesucht sind zwei ganze Zahlen, deren Mittelwert 21 und deren Differenz 0 ist.
- Gesucht sind zwei ganze Zahlen, deren Summe 42 und deren Differenz 0 ist.
- Gesucht sind zwei ganze Zahlen, deren Summe 42 und deren Differenz 6 ist.
- Ermittle die Zahlen \(x\) und \(y\) als Linearkombination in \(m\) und \(u\).
\(\begin{bmatrix}x=\square\cdot m+\square\cdot u\\ y=\square\cdot m+\square\cdot u\end{bmatrix}\Leftrightarrow\begin{bmatrix}2m=x+y\\ 2u=x-y\end{bmatrix}\)
AFB II | Kompetenzen K2 K5 | Bearbeitungszeit 10 min |
Quelle Martin Rathgeb | Lizenz CC BY-SA |
Aufgabe 6 Summe und Produkt 𝕃
- Gesucht sind zwei ganze Zahlen, deren Mittelwert 10 und deren Produkt 100 ist.
- Gesucht sind zwei ganze Zahlen, deren Summe 20 und deren Produkt 100 ist.
- Gesucht sind zwei ganze Zahlen, deren Summe 20 und deren Produkt 91 ist.
- Gesucht sind zwei ganze Zahlen, deren Summe 20 und deren Produkt um 9 kleiner ist als das Quadrat ihres arithmetischen Mittels.
Gegeben sind Summe und Produkt zweier Zahlen \(x\) und \(y\).
- Berechne ihren Mittelwert \(m\) und ihre Abweichung \(u\) von \(m\).
Ansatz. Schreibe im Produkt \(x\cdot y\) die Faktoren als Summe bzw. Differenz von \(m\) und \(u\); multipliziere aus; löse nach der Abweichung auf. - Berechne die beiden Zahlen \(x\) und \(y\).
- Berechne ihren Mittelwert \(m\) und ihre Abweichung \(u\) von \(m\).
- Gegeben ist eine normierte quadratische Gleichung \(x^2+px+q=0\) mit reellen Nullstellen \(x_1, x_2\). Erläutere, dass die vorausgegangene Teilaufgabe auf die pq-Formel geführt hat.
AFB II | Kompetenzen K2 K5 | Bearbeitungszeit 15 min |
Quelle Martin Rathgeb | Lizenz CC BY-SA |
Inhalt für Lehrende (Anmeldung erforderlich)
K1 | K2 | K3 | K4 | K5 | K6 | |
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I | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
II | 0 | 3 | 0 | 1 | 4 | 0 |
III | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |