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Version 3.1 von akukin am 2025/08/03 17:09
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1 (%class=abc%)
2 1. Das Schaubild der Erlösfunktion ist eine Ursprungsgerade mit der Steigung 10.
3 Um das Schaubild der Erlösfunktion zu zeichnen, erstellen wir (mit dem Taschenrechner) eine Wertetabelle und zeichnen die Punkte ins Koordinatensystem und verbinden sie anschließend.
4 [[image:ErlösundKostenfunktion.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
5 1. (((Da sich die Graphen der beiden Funktionen __in etwa__ an den Stellen {{formula}}x=1{{/formula}} und {{formula}}x=8{{/formula}} schneiden, sind Kosten und Erlös an beiden Stellen __ungefähr__ gleich groß.
6 Alternativ sehen wir auch durch Rechnung, dass die Funktionswerte an beiden Stellen __fast__ gleich groß sind:
7
8 {{formula}}
9 \begin{align}
10 K(1)&=0,2\cdot 1^3-1^2+4\cdot1+8=0,2-1+4+8 \\
11 &=11,2 \\
12 &\approx E(1)=10\cdot1=10
13 \end{align}
14 {{/formula}}
15
16 {{formula}}
17 \begin{align}
18 K(8)&=0,2\cdot 8^3-8^2+4\cdot8+8=102,4-64+32+8 \\
19 &=78,4 \\
20 &\approx E(8)=10\cdot8=80
21 \end{align}
22 {{/formula}}
23
24 )))
25 1. (((Wir erhalten die Gewinnfunktion {{formula}}G{{/formula}}, indem wir vom Erlös die Kosten abziehen, das heißt
26
27 {{formula}}
28 \begin{align}
29 G(x)&=E(x)-K(x) \\
30 &=10x-(0,2x^3-x^2+4x+8)=10x-0,2x^3+x^2-4x-8 \\
31 &=-0,2x^3+x^2+6x+8
32 \end{align}
33 {{/formula}}
34
35 Mit einer Wertetabelle können wir feststellen, dass die Funktion {{formula}}G(x){{/formula}} ihr Maximum bei etwa (5|38) hat (Genauer bei etwa (5,24|38,16)).
36
37 Der maximale Gewinn beträgt also 38 GE.
38 )))
39 1. ((( Es gilt {{formula}}K_{neu}(1)=10=E(1){{/formula}} und {{formula}}K_{neu}(8)=80,14\approx 80=E(8){{/formula}}. Somit sind für 1 ME und 8 ME Kosten und Erlös gleich groß. Die Gewinnzone liegt also unverändert zwischen {{formula}}x=1{{/formula}} und{{formula}}x=8{{/formula}}.
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41 Die neue Gewinnfunktion ist
42
43 {{formula}}
44 \begin{align}
45 G(x)&=E(x)-K(x) \\
46 &=10x-(1,88x^2-6,9x+15,02)=10x-1,88x^2+6,9x-15,02 \\
47 &=-1,88x^2+16,9x-15,02
48 \end{align}
49 {{/formula}}
50
51 Wir berechnen die Nullstellen der Funktion {{formula}}G(x){{/formula}} mit der Mitternachtsformel:
52
53 {{formula}}
54 \begin{aligned}
55 x_{1,2}&=\frac{-16,9\pm\sqrt{16,9^2-4\cdot(-1,88)\cdot (-15,02)}{2\cdot (-1,88)} \\
56 &=\frac{-16,9\pm 13,14}{-3,76} \\
57 x_1&=\frac{-16,9+13,14}{-3,76}=\frac{-3,76}{-3,76}=1 \\
58 x_2&=\frac{-16,9-13,14}{-3,76}=\frac{-30,04}{-3,76}\approx 7,99
59 \end{aligned}
60 {{/formula}}
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62 Das Maximum liegt genau zwischen den beiden Nullstellen der Funktion, das heißt an der Stelle {{formula}}x=\frac{1+7,99}{2}=4,495{{/formula}}.
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64 {{formula}}G(4,495)\approx 22,96{{/formula}}
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66 Der maximale Gewinn beträgt also in etwa 22,96 GE und bleibt somit nicht gleich.
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68 //Alternativ kann man den maximalen Gewinn auch wieder mit Hilfe einer Wertetabelle bestimmen.//
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70 )))