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Version 2.2 von akukin am 2024/12/02 21:35
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1 a) Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt, dass die linke Seite der Gleichung genau dann 0 ist, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist. Der Faktor {{formula}}(2x-2){{/formula}} wird 0 für {{formula}}x=1{{/formula}} ({{formula}}2x-2=0 \ \Leftrightarrow \ 2x=2 \ \Leftrightarrow \ x=1{{/formula}}).
2 Der Faktor {{formula}}(x+4){{/formula}} wird 0 für {{formula}}x=-4{{/formula}} ({{formula}}x+4=0 \ \Leftrightarrow \ x=-4{{/formula}}).
3
4 Somit sind die Lösungen der Gleichung {{formula}}x_1=1{{/formula}} und {{formula}}x_2=-4{{/formula}} jeweils mit Vielfachheit 1.
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6 b)
7
8 {{formula}}
9 \begin{align}
10 (x+3)^2 &=25 \quad \quad \ \mid \pm \sqrt \\
11 \Leftrightarrow \ \quad \quad x+3 &=\pm 5 \quad \quad \mid -3 \\
12 \Leftrightarrow x_1 =2; \ x_2 &= -8
13 \end{align}
14 {{/formula}}
15
16 Die Lösungen der Gleichung sind 2 und -8 jeweils mit Vielfachheit 1.
17
18 c)
19
20 {{formula}}
21 \begin{align}
22 & \quad \quad 3x^2+4 &&=\frac{1}{2}x+4 \quad \mid -4 \\
23 & \Leftrightarrow 3x^2 &&=\frac{1}{2}x \quad \ \ \quad \mid -\frac{1}{2}x \\
24 & \Leftrightarrow 3x^2 -\frac{1}{2}x &&= 0 \\
25 & \Leftrightarrow x \left(3x-\frac{1}{2}\right) &&=0
26 \end{align}
27 {{/formula}}
28
29 Mit dem Satz vom Nullprodukt ergibt sich {{formula}}x_1=0{{/formula}} und {{formula}}x_2=\frac{1}{6}{{/formula}} ({{formula}} 3x-\frac{1}{2}=0 \ \Leftrightarrow \ 3x=\frac{1}{2} \ \Leftrightarrow \ x=\frac{1}{6}{{/formula}}).
30 Die Lösungen besitzen beide die Vielfachheit 1.
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32 d) Ausmultiplizieren liefert {{formula}}x^2(3x^2-10)+3 = 3x^4-10x^2+3 = 0{{/formula}}.
33 Nun substituieren wir {{formula}}x^2{{/formula}} mit {{formula}}z{{/formula}}, wodurch wir die Gleichung {{formula}}3z^2-10z+3=0{{/formula}} erhalten, auf die sich die Mitternachtsformel anwenden lässt:
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35 {{formula}}
36 \begin{align}
37 z_{1,2} &=\frac{10\pm\sqrt{(-10)^2-4\cdot 3\cdot 3}}{2\cdot 3} \\
38 &= \frac{10\pm\sqrt{100-36}}{6} \\
39 &= \frac{10\pm\sqrt{64}}{6} \\
40 &= \frac{10\pm 8}{6}
41 \end{align}
42 {{/formula}}
43
44 Somit ist {{formula}}z_1=\frac{10+8}{6}=3{{/formula}} und {{formula}}z_2=\frac{10-8}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}{{/formula}}.
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46 Resubstitution ergibt {{formula}}x^2=z \ \Leftrightarrow \ x=\pm\sqrt{z}{{/formula}} und somit:
47 {{formula}}x_{1,2}=\pm\sqrt{3}{{/formula}} und {{formula}}x_{3,4}= \pm\sqrt{\frac{1}{3}}{{/formula}}.
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49 Die Nullstellen besitzen jeweils die Vielfachheit 1.