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Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2024/12/09 00:27
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1 a) Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt, dass die linke Seite der Gleichung genau dann 0 ist, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.
2 Der Faktor {{formula}}(2x-2){{/formula}} wird 0 für {{formula}}x=1{{/formula}} ({{formula}}2x-2=0 \ \Leftrightarrow \ 2x=2 \ \Leftrightarrow \ x=1{{/formula}}).
3 Der Faktor {{formula}}(x+4){{/formula}} wird 0 für {{formula}}x=-4{{/formula}} ({{formula}}x+4=0 \ \Leftrightarrow \ x=-4{{/formula}}).
4
5 Somit sind die Lösungen der Gleichung {{formula}}x_1=1{{/formula}} und {{formula}}x_2=-4{{/formula}} jeweils mit Vielfachheit 1.
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7 b)
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9 {{formula}}
10 \begin{align}
11 (x+3)^2 &=25 \quad \quad \ \mid \pm \sqrt \\
12 \Leftrightarrow \ \quad \quad x+3 &=\pm 5 \quad \quad \mid -3 \\
13 \Leftrightarrow x_1 =2; \ x_2 &= -8
14 \end{align}
15 {{/formula}}
16
17 Die Lösungen der Gleichung sind 2 und -8 jeweils mit Vielfachheit 1.
18
19 c)
20
21 {{formula}}
22 \begin{align}
23 & \quad \quad 3x^2+4 &&=\frac{1}{2}x+4 \quad \mid -4 \\
24 & \Leftrightarrow 3x^2 &&=\frac{1}{2}x \quad \ \ \quad \mid -\frac{1}{2}x \\
25 & \Leftrightarrow 3x^2 -\frac{1}{2}x &&= 0 \\
26 & \Leftrightarrow x \left(3x-\frac{1}{2}\right) &&=0
27 \end{align}
28 {{/formula}}
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30 Mit dem Satz vom Nullprodukt ergibt sich {{formula}}x_1=0{{/formula}} und {{formula}}x_2=\frac{1}{6}{{/formula}} ({{formula}} 3x-\frac{1}{2}=0 \ \Leftrightarrow \ 3x=\frac{1}{2} \ \Leftrightarrow \ x=\frac{1}{6}{{/formula}}).
31 Die Lösungen besitzen beide die Vielfachheit 1.
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33 d) Ausmultiplizieren liefert {{formula}}x^2(3x^2-10)+3 = 3x^4-10x^2+3 = 0{{/formula}}.
34 Nun substituieren wir {{formula}}x^2{{/formula}} mit {{formula}}z{{/formula}}, wodurch wir die Gleichung {{formula}}3z^2-10z+3=0{{/formula}} erhalten, auf die sich die abc-Formel (bzw. nach Division durch 3 die pq-Formel) anwenden lässt:
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36 {{formula}}
37 \begin{align}
38 z_{1,2} &=\frac{10\pm\sqrt{(-10)^2-4\cdot 3\cdot 3}}{2\cdot 3} \\
39 &= \frac{10\pm\sqrt{100-36}}{6} \\
40 &= \frac{10\pm\sqrt{64}}{6} \\
41 &= \frac{10\pm 8}{6}
42 \end{align}
43 {{/formula}}
44
45 Somit ist {{formula}}z_1=\frac{10+8}{6}=3{{/formula}} und {{formula}}z_2=\frac{10-8}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}{{/formula}}.
46
47 Resubstitution ergibt {{formula}}x^2=z \ \Leftrightarrow \ x=\pm\sqrt{z}{{/formula}} und somit:
48 {{formula}}x_{1,2}=\pm\sqrt{3}{{/formula}} und {{formula}}x_{3,4}= \pm\sqrt{\frac{1}{3}}{{/formula}}.
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50 Die Nullstellen besitzen jeweils die Vielfachheit 1.