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Version 1.1 von akukin am 2024/12/02 17:33
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akukin 1.1 1 a) {{formula}}f{{/formula}} besitzt den Grad 4, da die Funktion ausmultipliziert {{formula}}f(x)=2x\cdot (x^3-5x^2+6x)=2x^4-10x^3+12x^2{{/formula}} ist und der Grad einer Polynomfunktion demhöchsten vorkommenden Exponenten von x entspricht. Die Vergleichsfunktion {{formula}}g{{/formula}} ist somit {{formula}}g(x)=x^4{{/formula}}.
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3 b) Der der Grad von {{formula}}f{{/formula}} gerade ist und der Vorfaktor des führenden Exponenten (2) positiv ist, gilt für das Verhalten:
4 Für {{formula}}x\rightarrow \infty{{/formula}} geht {{formula}}f(x)\rightarrow \infty{{/formula}}.
5 Für {{formula}}x\rightarrow -\infty{{/formula}} geht {{formula}}f(x)\rightarrow \infty{{/formula}}.
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7 c) Da sowohl negative als auch positive Exponenten vorkommen, liegt keine Symmetrie vor.
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9 (Alternativ: {{formula}}f(-x)= 2(-x)^4-10(-x)^3+12(-x)^2=2x^4+10x^3+12x^2 \neq f(x) \ \text{oder} \ -f(x){{/formula}})
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11 d) Wir setzen {{formula}}f(x)=0{{/formula}}:
12 {{formula}}f(x)=2x\cdot (x^3-5x^2+6x)=0 {{/formula}} und sehen mit dem Satz vom Nullprodukt direkt, dass die linke Seite 0 wird für {{formula}}x=0{{/formula}}.
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14 Nun schauen wir, wann der Faktor {{formula}}(x^3-5x^2+6x){{/formula}} 0 wird.
15 {{formula}}x^3-5x^2+6x=0 \ \Leftrightarrow \ x(x^2-5x+6)=0{{/formula}}. Mit dem Satz vom Nullprodukt, ergibt sich wieder {{formula}}x=0{{/formula}}.
16 Um zu schauen, wann {{formula}}x^2-5x+6=0{{/formula}} gilt, wenden wir die Mitternachtsformel an:
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18 {{formula}}
19 \begin{align}
20 x_{3,4} &=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot 1 \cdot 6 }}{2\cdot 1} \\
21 &=\frac{-5\pm\sqrt{25-24}}{2} \\
22 &= \frac{-5\pm\sqrt{1}}{2} \\
23 &= \frac{-5\pm 1}{2}
24 \end{align}
25 {{/formula}}
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27 Wir erhalten so die beiden Nullstellen {{formula}}x_3= \frac{-5+1}{2}=-2{{/formula}} und {{formula}}x_4=\frac{-5- 1}{2}=-3{{/formula}}.
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29 Insgesamt erhalten wir die vier Nullstellen {{formula}}x_{1,2}=0{{/formula}}(doppelte Nullstelle), {{formula}}x_3=-2{{/formula}} (einfache Nullstelle) und {{formula}}x_4=-3{{/formula}} (einfache Nullstelle).
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31 e) Wichtig bei der Skizze sind die Nullstellen und das globale Verhalten. Bei den Nullstellen ist zu beachten, dass an der Stelle {{formula}}x=0{{/formula}} eine doppelte Nullstelle liegt und der Graph die x-Achse somit nur berührt.
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