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Lösung Musterklassenarbeit Aufgabe 6

Version 1.1 von akukin am 2024/12/02 17:33

a) f besitzt den Grad 4, da die Funktion ausmultipliziert f(x)=2x\cdot (x^3-5x^2+6x)=2x^4-10x^3+12x^2 ist und der Grad einer Polynomfunktion demhöchsten vorkommenden Exponenten von x entspricht. Die Vergleichsfunktion  g ist somit  g(x)=x^4.

b) Der der Grad von f gerade ist und der Vorfaktor des führenden Exponenten (2) positiv ist, gilt für das Verhalten:
Für x\rightarrow \infty geht f(x)\rightarrow \infty.
Für x\rightarrow -\infty geht f(x)\rightarrow \infty.

c) Da sowohl negative als auch positive Exponenten vorkommen, liegt keine Symmetrie vor.

(Alternativ: f(-x)= 2(-x)^4-10(-x)^3+12(-x)^2=2x^4+10x^3+12x^2 \neq f(x) \ \text{oder} \ -f(x))

d) Wir setzen f(x)=0:
f(x)=2x\cdot (x^3-5x^2+6x)=0  und sehen mit dem Satz vom Nullprodukt direkt, dass die linke Seite 0 wird für x=0.

Nun schauen wir, wann der Faktor (x^3-5x^2+6x) 0 wird.
x^3-5x^2+6x=0 \ \Leftrightarrow \ x(x^2-5x+6)=0. Mit dem Satz vom Nullprodukt, ergibt sich wieder x=0.
Um zu schauen, wann x^2-5x+6=0 gilt, wenden wir die Mitternachtsformel an:

\begin{align} x_{3,4} &=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot 1 \cdot 6 }}{2\cdot 1} \\ &=\frac{-5\pm\sqrt{25-24}}{2} \\ &= \frac{-5\pm\sqrt{1}}{2} \\ &= \frac{-5\pm 1}{2} \end{align}

Wir erhalten so die beiden Nullstellen x_3= \frac{-5+1}{2}=-2 und x_4=\frac{-5- 1}{2}=-3.

Insgesamt erhalten wir die vier Nullstellen x_{1,2}=0(doppelte Nullstelle), x_3=-2 (einfache Nullstelle) und x_4=-3 (einfache Nullstelle).

e) Wichtig bei der Skizze sind die Nullstellen und das globale Verhalten. Bei den Nullstellen ist zu beachten, dass an der Stelle x=0 eine doppelte Nullstelle liegt und der Graph die x-Achse somit nur berührt.