Wiki-Quellcode von Lösung Musterklassenarbeit Aufgabe 6
Version 6.1 von Martin Rathgeb am 2024/12/09 00:29
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| author | version | line-number | content |
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6.1 | 1 | a) {{formula}}f{{/formula}} besitzt den Grad 4, da die Funktion ausmultipliziert {{formula}}f(x)=2x\cdot (x^3-5x^2+6x)=2x^4-10x^3+12x^2{{/formula}} ist und der Grad einer Polynomfunktion dem höchsten vorkommenden Exponenten von {{formula}}x{{/formula}} entspricht. Die Vergleichsfunktion {{formula}}g{{/formula}} ist somit {{formula}}g(x)=2x^4{{/formula}}. |
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1.1 | 2 | |
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5.1 | 3 | b) Da der Grad von {{formula}}f{{/formula}} gerade ist und der Vorfaktor des führenden Exponenten (2) positiv ist, gilt für das Verhalten: |
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1.1 | 4 | Für {{formula}}x\rightarrow \infty{{/formula}} geht {{formula}}f(x)\rightarrow \infty{{/formula}}. |
| 5 | Für {{formula}}x\rightarrow -\infty{{/formula}} geht {{formula}}f(x)\rightarrow \infty{{/formula}}. | ||
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| 7 | c) Da sowohl negative als auch positive Exponenten vorkommen, liegt keine Symmetrie vor. | ||
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| 9 | (Alternativ: {{formula}}f(-x)= 2(-x)^4-10(-x)^3+12(-x)^2=2x^4+10x^3+12x^2 \neq f(x) \ \text{oder} \ -f(x){{/formula}}) | ||
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2.1 | 11 | d) Wir setzen {{formula}}f(x)=0{{/formula}}: {{formula}}f(x)=2x\cdot (x^3-5x^2+6x)=0 {{/formula}} |
| 12 | und sehen mit dem Satz vom Nullprodukt direkt, dass die linke Seite 0 wird für {{formula}}x=0{{/formula}}. | ||
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1.1 | 13 | |
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2.1 | 14 | Nun schauen wir, wann der Faktor {{formula}}(x^3-5x^2+6x)=0{{/formula}} wird. |
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1.1 | 15 | {{formula}}x^3-5x^2+6x=0 \ \Leftrightarrow \ x(x^2-5x+6)=0{{/formula}}. Mit dem Satz vom Nullprodukt, ergibt sich wieder {{formula}}x=0{{/formula}}. |
| 16 | Um zu schauen, wann {{formula}}x^2-5x+6=0{{/formula}} gilt, wenden wir die Mitternachtsformel an: | ||
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| 18 | {{formula}} | ||
| 19 | \begin{align} | ||
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2.1 | 20 | x_{3,4} &=\frac{5\pm\sqrt{5^2-4\cdot 1 \cdot 6 }}{2\cdot 1} \\ |
| 21 | &=\frac{5\pm\sqrt{25-24}}{2} \\ | ||
| 22 | &= \frac{5\pm\sqrt{1}}{2} \\ | ||
| 23 | &= \frac{5\pm 1}{2} | ||
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1.1 | 24 | \end{align} |
| 25 | {{/formula}} | ||
| 26 | |||
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2.1 | 27 | Wir erhalten so die beiden Nullstellen {{formula}}x_3= \frac{5+1}{2}=3{{/formula}} und {{formula}}x_4=\frac{5-1}{2}=2{{/formula}}. |
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1.1 | 28 | |
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4.1 | 29 | Insgesamt erhalten wir die vier Nullstellen {{formula}}x_{1,2}=0{{/formula}} (doppelte Nullstelle), {{formula}}x_3=3{{/formula}} (einfache Nullstelle) und {{formula}}x_4=2{{/formula}} (einfache Nullstelle). |
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1.1 | 30 | |
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4.1 | 31 | e) Wichtig bei der Skizze sind die Nullstellen und das globale Verhalten. Bei den Nullstellen ist zu beachten, dass an der Stelle {{formula}}x=0{{/formula}} eine doppelte Nullstelle liegt und der Graph die x-Achse somit nur berührt und dass bei den anderen beiden Nullstellen die x-Achse geschnitten wird. |
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4.1 | 33 | [[image:Funktionsgraph.png||width="320" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]] |