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Version 4.1 von Niklas Wunder am 2024/12/17 17:08
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1 a) {{formula}} f(x)=-\frac{1}{16}\cdot (x-2)^2\cdot (x-8){{/formula}}
2 {{formula}} f(x)= -\frac{1}{16}\cdot (x^2-4x+4)\cdot (x-8){{/formula}}
3 {{formula}} f(x)= -\frac{1}{16}\cdot (x^3-12\,x^2+36\,x-32){{/formula}}
4 {{formula}} f(x)= -\frac{1}{16}\,x^3+\frac{3}{4}\,x^2-\frac{9}{4}\,x+2{{/formula}}
5
6 b) {{formula}} f(x)=(x-3)\cdot(x^2+3x+9){{/formula}}
7 {{formula}} f(x)=x^3+3x^2+9\,x-3\,x^2-9\,x-27{{/formula}}
8 {{formula}} f(x)=x^3-27{{/formula}}
9
10 c) Der Faktor vor der höchsten Potenz (hier die 3) taucht auch als Faktor in der Produktform auf.Aus den Nullstellen der Funktion ergeben sich die beiden möglichen Produktformen {{formula}} f(x)= 3\cdot (x-2)^2\cdot (x-7){{/formula}} oder {{formula}} f(x)= 3\cdot (x-2)\cdot (x-7)^2{{/formula}} für die Funktion f. Wenn man die Produktform ausmultipliziert müssen die drei Zahlen in den Klammern (die doppelte Nullstelle nimmt man zweimal) multipliziert mit 3 gerade -84 ergeben. Daraus erhält man die beiden (Un)gleichungen {{formula}} 3\cdot (-2)^2\cdot(-7)=-84{{/formula}} und
11 {{formula}} 3\cdot -2\cdot(-7)^2=-294\neq -84{{/formula}}. Somit ist {{formula}} f(x)= 3\cdot (x-2)^2\cdot (x-7){{/formula}}
12
13 d) Der Faktor vor der höchsten Potenz (hier die -2) taucht auch als Faktor in der Produktform auf. Aus den Nullstellen der Funktion ergeben sich die drei möglichen Produktformen {{formula}} f(x)= -2\cdot (x+2)^2\cdot (x-1)\cdot (x-3){{/formula}} oder {{formula}} f(x)= -2\cdot (x+2)\cdot (x-1)^2\cdot (x-3){{/formula}} oder {{formula}} f(x)= -2\cdot (x+2)\cdot (x-1)\cdot (x-3)^2{{/formula}} für die Funktion f. Wenn man die Produktform ausmultipliziert müssen die vier Zahlen in den Klammern (die doppelte Nullstelle nimmt man zweimal) multipliziert mit -2 gerade -24 ergeben. Daraus erhält man die drei (Un)gleichungen {{formula}} -2\cdot 2^2\cdot(-1)\cdot(-3)=-24=-24{{/formula}} und
14 {{formula}} -2\cdot 2\cdot(-1)^2\cdot(-3)=12\neq-24{{/formula}} und {{formula}} -2\cdot 2\cdot(-1)\cdot(-3)^2=36\neq-24{{/formula}}. Somit ist {{formula}} f(x)= -2\cdot (x+2)^2\cdot (x-1)\cdot (x-3){{/formula}}