Lösung Symmetrie Parameter bestimmen

Bestimme einen Zahlenwert \(a\)  so, dass der Graph symmetrisch zum Koordinatenursprung oder zur y-Achse ist.

Für Achsensymmetrie zur y-Achse gilt: \(f(x)=f(-x)\)
Für Punktsymmetrie zum Ursprung gilt: \(f(x)=-f(-x)\)

Es gibt hier zwei mögliche Herangehensweisen. Man kann es rein rechnerisch angehen, indem man obige Bedingungen prüft. Alternativ kann man die Nullstellen und deren Vielfachheiten heranziehen.

1. \(f(x)=x+a\)
   Check y-Achse: \(f(-x)=-x+a \neq x+a\) ↯
   Check Ursprung: \(-f(-x)=-(-x+a)=x-a \rightarrow x+a = x-a\) für \(a=0\)

2. \(f(x)=(x+1)(x-a)\)
   Check y-Achse: \(f(-x)=(-x+1)(-x-a) = -(-x+1)(x+a) = (x-1)(x+a) \rightarrow (x+1)(x-a) = (x-1)(x+a)\) für \(a=1\)
   Check Ursprung: \(-f(-x)=-(-x+1)(-x-a) = (-x+1)(x+a) \neq (x+1)(x-a)\)

3. \(f(x)=x(x+a)^2\)
   Ein Weg, hier auf Symmetrien zu prüfen, ist, den Term zunächst auszumultiplizieren:
   \(f(x)=x^3+2ax^2+a^2x\)
   Der Grad ist 3 und damit ungerade. Es kommt also nur eine Punktsymmetrie zum Ursprung in Frage. Wir bilden \(-f(-x)\):
   \(-f(-x)=-((-x)^3+2a(-x)^2+a^2(-x))=-(-x^3+2ax^2-a^2x)=x^3-2ax^2+a^2x\)
   Der zweite Summand hat ein anderes Vorzeichen. Dieser muss rausfliegen, damit die Punktsymmetrie vorliegen kann. Das ist der Fall für \(a=0\)

4. \(f(x)=x(x^2+a)\)
   Auch hier ist der Grad der Polynomfktion 3 und es kommt nur die Punktsymmetrie zum Ursprung in Frage:
   \(-f(-x)=-(-x((-x)^2+a))=x(x^2+a)\)
   Auf das a kommt es nicht an. Der Funktionsgraph ist also für beliebige a punktsymmetrisch zum Ursprung.