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Zuletzt geändert von Holger Engels am 2025/02/11 19:53
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1 Bestimme einen Zahlenwert {{formula}}a{{/formula}} so, dass der Graph symmetrisch zum Koordinatenursprung oder zur y-Achse ist.
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3 Für Achsensymmetrie zur y-Achse gilt: {{formula}}f(x)=f(-x){{/formula}}
4 Für Punktsymmetrie zum Ursprung gilt: {{formula}}f(x)=-f(-x){{/formula}}
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6 Es gibt hier zwei mögliche Herangehensweisen. Man kann es rein rechnerisch angehen, indem man obige Bedingungen prüft. Alternativ kann man die Nullstellen und deren Vielfachheiten heranziehen.
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8 (% style="list-style:alphastyle" %)
9 1. ((({{formula}}f(x)=x+a{{/formula}}
10 Check y-Achse: {{formula}}f(-x)=-x+a \neq x+a{{/formula}} ↯
11 Check Ursprung: {{formula}}-f(-x)=-(-x+a)=x-a \rightarrow x+a = x-a{{/formula}} für {{formula}}a=0{{/formula}}
12 )))
13 1. ((({{formula}}f(x)=(x+1)(x-a){{/formula}}
14 Check y-Achse: {{formula}}f(-x)=(-x+1)(-x-a) = -(-x+1)(x+a) = (x-1)(x+a) \rightarrow (x+1)(x-a) = (x-1)(x+a){{/formula}} für {{formula}}a=1{{/formula}}
15 Check Ursprung: {{formula}}-f(-x)=-(-x+1)(-x-a) = (-x+1)(x+a) \neq (x+1)(x-a){{/formula}}
16 )))
17 1. ((({{formula}}f(x)=x(x+a)^2{{/formula}}
18 Ein Weg, hier auf Symmetrien zu prüfen, ist, den Term zunächst auszumultiplizieren:
19 {{formula}}f(x)=x^3+2ax^2+a^2x{{/formula}}
20 Der Grad ist 3 und damit ungerade. Es kommt also nur eine Punktsymmetrie zum Ursprung in Frage. Wir bilden {{formula}}-f(-x){{/formula}}:
21 {{formula}}-f(-x)=-((-x)^3+2a(-x)^2+a^2(-x))=-(-x^3+2ax^2-a^2x)=x^3-2ax^2+a^2x{{/formula}}
22 Der zweite Summand hat ein anderes Vorzeichen. Dieser muss rausfliegen, damit die Punktsymmetrie vorliegen kann. Das ist der Fall für {{formula}}a=0{{/formula}}
23 )))
24 1. ((({{formula}}f(x)=x(x^2+a){{/formula}}
25 Auch hier ist der Grad der Polynomfktion 3 und es kommt nur die Punktsymmetrie zum Ursprung in Frage:
26 {{formula}}-f(-x)=-(-x((-x)^2+a))=x(x^2+a){{/formula}}
27 Auf das //a// kommt es nicht an. Der Funktionsgraph ist also für beliebige //a// punktsymmetrisch zum Ursprung.
28 )))