Lösung Parabel aus drei Punktproben

Haupt-, Scheitel(punkts)-, Produktform. Bestimme aus folgenden Wertetabellen (je drei Wertepaare) jeweils die quadratische Funktion.

	1	2	3
	0	0	1

Alle Nullstellen sind bekannt. Es empfiehlt sich, mit der Produktform anzusetzen:

Punktprobe mit :

 

	1	2	3
	0	1	0

Hier sind ebenfalls ale Nullstellen bekannt. Außerdem kann der Scheitelpunkt  abgelesen werden. Ansatz also wahlweise mit Produkt- oder Scheitelform.
Mit Scheitelpunkt sieht das so aus:
Der Funktionswert an der Stelle 1 links von der Scheitelstelle ist 1 weniger als der an der Scheitelstelle. Der Streckungsfaktor ist also -1.

Den Wert für a hätte man alternativ durch Einsetzen des Punktes  oder  ausrechnen können
 

	1	2	3
	2	0	2

Der Scheitelpunkt  liegt auf der x-Achse und ist damit gleichzeitig eine doppelte Nullstelle. Die Scheitelpunktform und die Produktform sehen in diesem Fall exakt gleich aus:

Eins neben dem Scheitelpunkt ist der Funktionswert 2 statt , also ist der Streckungsfaktor

 

	1	2	3
	2	4	2

Parabeln sind immer achsensymmetrisch zur Geraden . Wenn  an den Stellen 1 und 3 den gleichen Funktionswert hat, muss die Scheitelstelle genau mittig dazwischen liegen, also bei . Der Funktionswert an den Stellen 1 und 3 ist 2 und damit zwei weniger als . Der Streckungsfaktor a ist also -2.

 

	1	2	3
	2	1	-2

Hier sind weder Nullstellen, noch Symmetrien und auch kein y-Achsenabschnitt bekannt. Es sieht so aus, als müsste man mit 3 Punktproben ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 unbekannten aufstellen. Wenn man sich die Wertetabelle genauer anschaut, sieht man, dass es einen schnelleren Weg gibt. Der Vertikale Abstand zwischen den Stellen 1 und 2 ist , der zwischen 1 und 3 ist . Also muss  der Scheitelpunkt sein und der Streckungsfaktor -1.