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Änderungen von Dokument BPE 3.4 Polynomgleichungen

Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2025/04/07 23:20
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.vbs
1 +XWiki.holgerengels
Inhalt
... ... @@ -3,42 +3,49 @@
3 3  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine Polynomgleichung zu lösen
4 4  [[Kompetenzen.K1]] Ich kann die Wahl einer Lösungsstrategie für eine Polynomgleichung begründen
5 5  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Polynomgleichungen algebraisch lösen
6 -[[Kompetenzen.K5]], [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösungen einer Polynomgleichung als Nullstelle interpretieren
7 -[[Kompetenzen.K5]], [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösungen einer Polynomgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
8 -[[Kompetenzen.K5]], [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösung quadratischer Ungleichungen mithilfe des Funktionsgraphen bestimmen
6 +[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösungen einer Polynomgleichung als Nullstelle interpretieren
7 +[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösungen einer Polynomgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
8 +[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösung quadratischer Ungleichungen mithilfe des Funktionsgraphen bestimmen
9 9  
10 +{{lernende}}
11 +**KMap** [[Strategietrainer>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Ganzrationale%20Funktionen/Polynomgleichungen#erkunden]]
12 +{{/lernende}}
10 10  
11 -{{aufgabe id="Lösen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA"}}
12 -Bestimmen Sie die Lösungen folgender Gleichungen:
14 +Numerisches Lösungsverfahren
13 13  
14 - a) {{formula}}0=-x^3-4096{{/formula}}
16 +{{aufgabe id="Lösen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="14"}}
17 +Bestimme die Lösungen folgender Gleichungen {{formula}}x\in\mathbb{R}{{/formula}} ohne Taschenrechner:
18 +(% class="abc" %)
19 +1. {{formula}}0=-x^3-4096{{/formula}}
20 +1. {{formula}}0=x^2 \cdot(x+3)\cdot(x-3)\cdot(x-8){{/formula}}
21 +1. {{formula}}0=x^4-2x^2-35 {{/formula}}
22 +1. {{formula}}(x^2-4)(x-3)=0{{/formula}}
23 +1. {{formula}}x^3+x^2-\frac{3}{4}x=0{{/formula}}
24 +1. {{formula}}x^3+3x^2-4=3x^2+9x-4{{/formula}}
25 +{{/aufgabe}}
15 15  
16 - b) {{formula}}0=x^2 \cdot(x+3)\cdot(x-3)\cdot(x-8){{/formula}}
17 -
18 - c) {{formula}}0=x^4-2x^2-35 {{/formula}}
19 -
27 +{{aufgabe id="Lösung in Abhängigkeit von a" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Stefanie Schmidt" cc="BY-SA" zeit="4"}}
28 +Bestimme {{formula}}a\in\mathbb{R}{{/formula}} so, dass die Gleichung genau zwei Lösungen hat.
29 +{{formula}}(x^2-4)(x-a)=0{{/formula}}
20 20  {{/aufgabe}}
21 21  
22 -{{aufgabe id="Nullstellen" afb="I" kompetenzen=" K5" quelle="IQB 2017 Analysis grundlegendes Niveau Teil 1 Aufgabe 2 a" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]"}}
23 -Gegeben ist die in R definierte Funktion {{formula}}f:x \mapsto x^3+2x^2{{/formula}}.
24 -Bestätigen Sie, dass {{formula}}x_1=-2 {{/formula}} und {{formula}} x_2=0 {{/formula}} die einzigen Nullstellen von f sind.
32 +{{aufgabe id="Nullstellen" afb="I" kompetenzen=" K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2017/abitur/pools2017/mathematik/grundlegend/2017_M_grundlegend_A_Analysis_1_2.pdf]]
33 +Teil 1 Aufgabe 2 a" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]" zeit="4"}}
34 +Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion //f// mit {{formula}}f(x) = x^3+2x^2{{/formula}}. Bestätige, dass {{formula}}x_1=-2{{/formula}} und {{formula}} x_2=0{{/formula}} die einzigen Nullstellen von //f// sind.
25 25  {{/aufgabe}}
26 26  
27 -{{aufgabe id="Schnittstellen" afb="II" kompetenzen="K1, K5" quelle="IQB 2019 Analysis grundlegendes
28 -Niveau Teil 1 Aufgabe 1" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]"}}
37 +{{aufgabe id="Schnittstellen" afb="II" kompetenzen="K1, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2019/abitur/pools2019/mathematik/grundlegend/2019_M_grundlegend_A_Analysis_1_1.pdf]]" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]" zeit="5"}}
29 29  Gegeben sind die in R definierten Funktionen {{formula}} g:x \mapsto x^2-3{{/formula}} und {{formula}} h:x \mapsto-x^2+2x+1{{/formula}}.
30 30  
31 31  Zeigen Sie, dass sich die Graphen von g und h nur für {{formula}} x=-1{{/formula}} und {{formula}}x=2{{/formula}} schneiden.
32 32  {{/aufgabe}}
33 33  
34 -
35 -{{aufgabe id="Schnittstellen Gerade" afb="II" kompetenzen="K2, K5, K4" quelle="IQB 2019 Analysis grundlegendes
36 -Niveau Teil 1 Aufgabe 2" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]"}}
43 +{{aufgabe id="Schnittstellen Polynom-Gerade" afb="II" kompetenzen="K2, K5, K4" quelle="[[IQB e.V.>>https://iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2019/abitur/pools2019/mathematik/grundlegend/2019_M_grundlegend_A_Analysis_1_2.pdf]]" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]" zeit="5"}}
37 37  Gegeben ist die in Funktion f mit {{formula}}f(x)=\frac{1}{3} x^3-\frac{4}{3} x+1{{/formula}}.
38 38  Bestimmen Sie die x-Koordinaten der Punkte, in denen der Graph von f die Gerade mit der Gleichung {{formula}}y=1{{/formula}} schneidet.
39 39  {{/aufgabe}}
40 40  
41 -{{aufgabe id="Grad und Nullstellen" afb="II" kompetenzen="K1, K6, K4" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA"}}
48 +{{aufgabe id="Grad und Nullstellen" afb="II" kompetenzen="K1, K6, K4" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA" zeit="5"}}
42 42  Begründen Sie, ob es eine Polynomgleichung mit folgenden Eigenschaften geben kann:
43 43  
44 44  a) Eine Polynomgleichung 4. Grades, die nur die Lösungen {{formula}} 5 {{/formula}} und {{formula}}-5 {{/formula}} besitzt.
... ... @@ -45,10 +45,77 @@
45 45  b) Eine Polynomgleichung 3. Grades, die keine Lösung hat.
46 46  {{/aufgabe}}
47 47  
48 -{{aufgabe id="Grad 6 eine Lösung" afb="III" kompetenzen="K2, K5" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA"}}
55 +{{aufgabe id="Grad 6 eine Lösung" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA" zeit="10"}}
49 49  Bestimmen Sie eine Polynomgleichung 6. Grades, die genau eine Lösung besitzt und durch Substitution gelöst werden kann.
50 50  {{/aufgabe}}
51 51  
52 -((({{seitenreflexion kompetenzen="3" anforderungsbereiche="1" kriterien="2" menge="1"/}})))
59 +{{aufgabe id="Rückwärts lösen" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA"}}
60 +(% class="abc" %)
61 +1. ((({{{ }}}
53 53  
63 +{{formula}}
64 +\begin{align*}
65 +\square x^3+\square &= 0\\
66 +\square x^3 &=\square\quad \left| :2\\
67 +x^3 &= \square \\
68 +x &= -2
69 +\end{align*}
70 +{{/formula}}
71 +)))
72 +1. ((({{{ }}}
54 54  
74 +{{formula}}
75 +\begin{align*}
76 +2x^3+\square x^2 &= 0 \\
77 +\square (x-\square) &= 0 \left|\left| \text{ SVNP }
78 +\end{align*}
79 +{{/formula}}
80 +
81 +{{formula}}\Rightarrow x_{1,2}=\square; x_3=6{{/formula}}
82 +)))
83 +1. ((({{{ }}}
84 +
85 +{{formula}}\begin{align*}
86 +x^4+\square x^2+\square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Subst.: } x^2:=\square\\
87 +z^2+\square z + \square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Mitternachtsformel/abc-Formel } &
88 +\end{align*}
89 +{{/formula}}
90 +
91 +{{formula}}
92 +\begin{align*}
93 +\Rightarrowz_{1,2}&=\frac{\square\pm\sqrt{\square^2-4\cdot\square\cdot\square}}{2\cdot\square}\\
94 +z_1&=\frac{\square+\square}{\square}; z_2=\frac{\square-\square}{\square}
95 +\end{align*}
96 +{{/formula}}
97 +
98 +{{formula}}
99 +\begin{align*}
100 +&\text{Resubst.: } \square := x^2\\
101 +&x_{1,2}^2=36 \Rightarrow x_{1,2}=\square\\
102 +&x_{3,4}^2=\square \Rightarrow x_{3,4}=\pm 2
103 +\end{align*}
104 +{{/formula}})))
105 +{{/aufgabe}}
106 +
107 +{{aufgabe id="Einfache Ungleichung" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA"}}
108 +Sara und Paul möchten folgende Ungleichung lösen: {{formula}}-a < -b{{/formula}}
109 +Sara und Paul haben unterschiedliche Ideen, wie sie die Gleichung lösen möchten.
110 +Sara möchte zu beiden Seiten {{formula}}a+b{{/formula}} addieren.
111 +Paul möchte beide Seiten mit {{formula}}-1{{/formula}} multiplizieren.
112 +Gib an, wie sich die Gleichung jeweils verändert und welche Idee zur Lösung der Ungleichung führt.
113 +{{/aufgabe}}
114 +
115 +{{aufgabe id="Quadratische Ungleichung" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA"}}
116 +Gegeben ist die Ungleichung {{formula}}3x^2+12x+9\le0{{/formula}}
117 +(% class="abc" %)
118 +1. Löse die Ungleichung graphisch
119 +1. Löse die Ungleichung algebraisch, ggf. unter Zuhilfenahme einer Skizze.
120 +{{/aufgabe}}
121 +
122 +{{aufgabe id="Quadratische Ungleichung" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA"}}
123 +Gesucht ist nach dem Intervall, in dem die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=3x^2+12x+9{{/formula}} unterhalb der x-Achse verläuft. Untersuche, ob folgende Ungleichung den Sachverhalt widerspiegelt: {{formula}}-(3x^2+12x+9)>0{{/formula}}
124 +{{/aufgabe}}
125 +
126 +{{lehrende}}K3 wird in BPE 3.5 abgedeckt.{{/lehrende}}
127 +
128 +{{seitenreflexion kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}