Änderungen von Dokument BPE 3.4 Polynomgleichungen

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Details

Seiteneigenschaften

Dokument-Autor

@@ -1,1 +1,1 @@
--XWiki.martinrathgeb
++XWiki.martinawagner

Inhalt

@@ -1,149 +1,70 @@
--{{seiteninhalt/}}
++{{box cssClass="floatinginfobox" title="**Contents**"}}
++{{toc start=2 depth=2 /}}
++{{/box}}
++=== Kompetenzen ===
++
  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine Polynomgleichung zu lösen
  [[Kompetenzen.K1]] Ich kann die Wahl einer Lösungsstrategie für eine Polynomgleichung begründen
  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Polynomgleichungen algebraisch lösen
--[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösungen einer Polynomgleichung als Nullstelle interpretieren
--[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösungen einer Polynomgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
--[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösung quadratischer Ungleichungen mithilfe des Funktionsgraphen bestimmen
++[[Kompetenzen.K5]], [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösungen einer Polynomgleichung als Nullstelle interpretieren
++[[Kompetenzen.K5]], [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösungen einer Polynomgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
++[[Kompetenzen.K5]], [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösung quadratischer Ungleichungen mithilfe des Funktionsgraphen bestimmen
--{{lernende}}
--**KMap** [[Strategietrainer>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Ganzrationale%20Funktionen/Polynomgleichungen#erkunden]]
--{{/lernende}}
--{{aufgabe id="Lösen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="14"}}
--Bestimme die Lösungen folgender Gleichungen {{formula}}x\in\mathbb{R}{{/formula}} ohne Taschenrechner:
--(% class="abc" %)
--1. {{formula}}0=-x^3-4096{{/formula}}
--1. {{formula}}0=x^2 \cdot(x+3)\cdot(x-3)\cdot(x-8){{/formula}}
--1. {{formula}}0=x^4-2x^2-35 {{/formula}}
--1. {{formula}}(x^2-4)(x-3)=0{{/formula}}
--1. {{formula}}x^3+x^2-\frac{3}{4}x=0{{/formula}}
--1. {{formula}}x^3+3x^2-4=3x^2+9x-4{{/formula}}
--{{/aufgabe}}
++{{aufgabe afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA"}}
++Bestimmen Sie die Lösungen folgender Gleichungen:
--{{aufgabe id="Lösung in Abhängigkeit von a" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Stefanie Schmidt" cc="BY-SA" zeit="4"}}
--Bestimme {{formula}}a\in\mathbb{R}{{/formula}} so, dass die Gleichung genau zwei Lösungen hat.
--{{formula}}(x^2-4)(x-a)=0{{/formula}}
--{{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Nullstellen" afb="I" kompetenzen=" K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2017/abitur/pools2017/mathematik/grundlegend/2017_M_grundlegend_A_Analysis_1_2.pdf]]
--Teil 1 Aufgabe 2 a" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]" zeit="4"}}
--Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion //f// mit {{formula}}f(x) = x^3+2x^2{{/formula}}. Bestätige, dass {{formula}}x_1=-2{{/formula}} und {{formula}} x_2=0{{/formula}} die einzigen Nullstellen von //f// sind.
--{{/aufgabe}}
++    a) {{formula}}0=-x^3-4096{{/formula}}
--{{aufgabe id="Schnittstellen" afb="II" kompetenzen="K1, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2019/abitur/pools2019/mathematik/grundlegend/2019_M_grundlegend_A_Analysis_1_1.pdf]]" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]" zeit="5"}}
--Gegeben sind die in R definierten Funktionen {{formula}}  g:x \mapsto x^2-3{{/formula}} und {{formula}} h:x \mapsto-x^2+2x+1{{/formula}}.
--
--Zeigen Sie, dass sich die Graphen von g und h nur für {{formula}} x=-1{{/formula}} und {{formula}}x=2{{/formula}} schneiden.
++    b) {{formula}}0=x^2 (x+3)(x-3)(x-8){{/formula}}
++    c) {{formula}}0=x^4-2x^2-35 {{/formula}}
++
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Schnittstellen Polynom-Gerade" afb="II" kompetenzen="K2, K5, K4" quelle="[[IQB e.V.>>https://iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2019/abitur/pools2019/mathematik/grundlegend/2019_M_grundlegend_A_Analysis_1_2.pdf]]" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]" zeit="5"}}
--Gegeben ist die in Funktion f mit {{formula}}f(x)=\frac{1}{3} x^3-\frac{4}{3} x+1{{/formula}}.
--Bestimmen Sie die x-Koordinaten der Punkte, in denen der Graph von f die Gerade mit der Gleichung {{formula}}y=1{{/formula}} schneidet.
--{{/aufgabe}}
++{{aufgabe afb="I" kompetenzen="K2, K4, K5" quelle="IQB 2019 Analysis gAN Teil 2 CAS" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]"}}
++BMX-Fahrräder sind speziell für das Gelände ausgelegte Sportgeräte. Für den profes-
++sionellen Einsatz dieser Fahrräder wird auf horizontalem Untergrund eine 3 m breite
++Sprungschanze installiert. Im Längsschnitt der Schanze kann deren Profillinie für
++{{formula}}x ∈
++  \in\left[ -8;0 \right]{{/formula}} modellhaft durch die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion f mit
--{{aufgabe id="Grad und Nullstellen" afb="II" kompetenzen="K1, K6, K4" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA" zeit="5"}}
--Begründen Sie, ob es eine Polynomgleichung mit folgenden Eigenschaften geben kann:
--
--a) Eine Polynomgleichung 4. Grades, die nur die Lösungen {{formula}} 5 {{/formula}} und {{formula}}-5 {{/formula}} besitzt.
--b) Eine Polynomgleichung 3. Grades, die keine Lösung hat.
--{{/aufgabe}}
--
--{{aufgabe id="Grad 6 eine Lösung" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA" zeit="10"}}
--Bestimmen Sie eine Polynomgleichung 6. Grades, die genau eine Lösung besitzt und durch Substitution gelöst werden kann.
--{{/aufgabe}}
--
--{{aufgabe id="Rückwärts lösen" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA"}}
--(% class="abc" %)
--1. ((({{{ }}}
--
  {{formula}}
--\begin{align*}
--\square x^3+\square &= 0\\
--\square x^3 &=\square\quad \left| :2\\
--x^3 &= \square \\
--x &= -2
--\end{align*}
++f(x)=-\frac{5}{256}x^3-\frac{3}{4}x+2
  {{/formula}}
--)))
--1. ((({{{ }}}
--{{formula}}
--\begin{align*}
--2x^3+\square x^2 &= 0 \\
--\square (x-\square) &= 0 \left|\left| \text{ SVNP }
--\end{align*}
--{{/formula}}
++beschrieben werden. Die Abbildung 1 zeigt den zugehörigen Teil des Graphen von //f//.
++Der Startpunkt, von dem aus die Schanze durchfahren wird, wird durch den Punkt
++{{formula}}S( -8 | f ( -8 ) ){{/formula}}  dargestellt, der Absprungpunkt durch {{formula}}A(0 | f ( 0 ) ){{/formula}}.
--{{formula}}\Rightarrow x_{1,2}=\square; x_3=6{{/formula}}
--)))
--1. ((({{{ }}}
++[[Abbildung 1>>image:Schanze.png]]
--{{formula}}\begin{align*}
--x^4+\square x^2+\square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Subst.: } x^2:=\square\\
--z^2+\square z + \square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Mitternachtsformel/abc-Formel } &
--\end{align*}
--{{/formula}}
++Veranschaulichen Sie in Abbildung 1 die mittlere Steigung der Schanze zwischen
++Startpunkt und Absprungpunkt. Bestimmen Sie diese Steigung.
++{{/aufgabe}}
++{{aufgabe afb="II" kompetenzen="K3, K5" quelle="IQB 2019 Analysis gAN Teil 2 WTR" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]"}}
++Im Rahmen eines Tests läuft ein Sportler auf einem Laufband. Dabei wird bei ansteigender Geschwindigkeit jeweils die Konzentration sogenannter Laktate im Blut gemessen.
++Die Abhängigkeit der Laktatkonzentration von der Geschwindigkeit kann für {{formula}}8,5\leq x \leq 17,5{{/formula}} modellhaft durch die Funktion //k// beschrieben werden mit:
++
  {{formula}}
--\begin{align*}
--\Rightarrow z_{1,2}&=\frac{\square\pm\sqrt{\square^2-4\cdot\square\cdot\square}}{2\cdot\square}\\
--z_1&=\frac{\square+\square}{\square}; z_2=\frac{\square-\square}{\square}
--\end{align*}
++k(x) = \frac{1}{40}(x^{3}-30x^{2}+288x-815)
  {{/formula}}
--{{formula}}
--\begin{align*}
--&\text{Resubst.: } \square := x^2\\
--&x_{1,2}^2=36 \Rightarrow x_{1,2}=\square\\
--&x_{3,4}^2=\square \Rightarrow x_{3,4}=\pm 2
--\end{align*}
--{{/formula}})))
++Dabei ist {{formula}}x{{/formula}} die Geschwindigkeit des Sportlers in Kilometer pro Stunde und //k// die Laktatkonzentration in Millimol pro Liter {{formula}}\frac{mmol}{l}{{/formula}}. Berechnen Sie im Modell für den Geschwindigkeitsbereich von 12 bis 17,5 {{formula}}\frac{km}{h}{{/formula}} die mittlere Änderungsrate der Laktatkonzentration.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Einfache Ungleichung" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA" zeit="10"}}
--Sara und Paul möchten folgende Ungleichung lösen: {{formula}}-a < -b{{/formula}}
--Sara und Paul haben unterschiedliche Ideen, wie sie die Gleichung lösen möchten.
--Sara möchte zu beiden Seiten {{formula}}a+b{{/formula}} addieren.
--Paul möchte beide Seiten mit  {{formula}}-1{{/formula}} multiplizieren.
--Gib an, wie sich die Gleichung jeweils verändert und welche Idee zur Lösung der Ungleichung führt.
--{{/aufgabe}}
++{{aufgabe afb="II" kompetenzen="K2, K4, K5" quelle="Abi 2012 Anwendung, modifiziert"}}
++Ein Kondensator ist ein Bauteil, das elektrische Ladung speichert. Der Ladevorgang eines Kondensators wird im Labor untersucht. Zum Zeitpunkt t = 0 beginnt der Aufladevorgang. Die Stärke des elektrischen Stroms, der beim Aufladen fließt, wird gemessen. Die Messwerte sind in folgender Tabelle zusammengefasst:
--{{aufgabe id="Verfahren Ungleichungen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="ChatGPT (Fachberatung), überarbeitet durch Martin Rathgeb" lizenz="BY-SA" zeit="15"}}
--Erläutere die drei grundlegenden Verfahren zur Lösung von Polynomungleichungen:
--(% class="abc" %)
--1. das tabellarische Verfahren,
--1. das graphische Verfahren,
--1. das rechnerische Verfahren.
++(% style="width:min-content" %)
++|=Zeit [s]|1,0|2,4|4,8|7,2|9,6
++|=Stromstärke [mA]|9,0|6,0|3,0|1,5|0,75
--//Ergänzung.// Stelle dir vor, du sollst einem Mitschüler oder einer Mitschülerin erklären, welches der drei Verfahren zur Lösung von Polynomungleichungen in welcher Situation besonders sinnvoll ist. Formuliere eine Empfehlung mit Begründung und zeige dabei, dass du die Verfahren sicher verstanden hast.
++Ermitteln Sie einen Zeitraum beim Ladevorgang, in der die durchschnittliche Änderungsrate der Stromstärke halb so groß ist wie im Zeitraum von 2,4 s bis 4,8 s!
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Anwendung drei Verfahren" afb="II" kompetenzen="K4, K5" quelle="ChatGPT (Fachberatung), überarbeitet durch Martin Rathgeb" lizenz="BY-SA" zeit="25"}}
--Gegeben ist die Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3{{/formula}}. Untersuche, für welche Werte von {{formula}}x{{/formula}} die Ungleichung {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} erfüllt ist. Vergleiche dazu die drei grundlegenden Verfahren zur Bearbeitung einer Polynomungleichung:
++((({{seitenreflexion kompetenzen="3" anforderungsbereiche="1" kriterien="2" menge="1"/}})))
--(% class="abc" %)
--1. //Tabellarisches Verfahren (Teil 1).// Erstelle zunächst eine Wertetabelle für {{formula}}x = -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2{{/formula}}. Interpretiere das Vorzeichenverhalten von {{formula}}f(x){{/formula}}.
--1. //Tabellarisches Verfahren (Teil 2).// Ergänze anschließend weitere Funktionswerte für {{formula}}x = -1{,}5,\ -0{,}5,\ 0{,}5,\ 1{,}5{{/formula}}. Interpretiere nun genauer, in welchen Intervallen die Ungleichung erfüllt sein könnte.
--1. //Graphisches Verfahren.// Skizziere den Graphen der Funktion qualitativ. Nutze dafür die bisherigen Werte sowie Kenntnisse über Achsensymmetrie und das Verhalten im Unendlichen.
--1. //Rechnerisches Verfahren.// Bestimme die Nullstellen rechnerisch und leite daraus die Lösung der Ungleichung {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} ab.
--{{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Quadratische Ungleichung" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA"}}
--Gegeben ist die Ungleichung {{formula}}3x^2+12x+9\le0{{/formula}}.
--(% class="abc" %)
--1. Löse die Ungleichung graphisch
--1. Löse die Ungleichung algebraisch, ggf. unter Zuhilfenahme einer Skizze.
--{{/aufgabe}}
--
--{{aufgabe id="Quadratische Ungleichung" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA"}}
--Gesucht ist nach dem Intervall, in dem die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=3x^2+12x+9{{/formula}} unterhalb der x-Achse verläuft. Untersuche, ob folgende Ungleichung den Sachverhalt widerspiegelt: {{formula}}-(3x^2+12x+9)>0{{/formula}}.
--{{/aufgabe}}
--
--{{lehrende}}
--K3 wird in BPE 3.5 abgedeckt.
--Es fehlt eine Aufgabe zu einem numerischen Lösungsverfahren.
--{{/lehrende}}
--
--{{seitenreflexion kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}

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