Änderungen von Dokument BPE 3.4 Polynomgleichungen

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Details

Seiteneigenschaften

Dokument-Autor

...	...	@@ -1,1 +1,1 @@
1		-XWiki.akukin
	1	+XWiki.holgerengels

Inhalt

...	...	@@ -7,9 +7,7 @@
7	7	[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösungen einer Polynomgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
8	8	[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Lösung quadratischer Ungleichungen mithilfe des Funktionsgraphen bestimmen
9	9
10		-{{lernende}}
11		-**KMap** [[Strategietrainer>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Ganzrationale%20Funktionen/Polynomgleichungen#erkunden]]
12		-{{/lernende}}
	10	+Numerisches Lösungsverfahren
13	13
14	14	{{aufgabe id="Lösen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="14"}}
15	15	Bestimme die Lösungen folgender Gleichungen {{formula}}x\in\mathbb{R}{{/formula}} ohne Taschenrechner:
...	...	@@ -54,56 +54,38 @@
54	54	Bestimmen Sie eine Polynomgleichung 6. Grades, die genau eine Lösung besitzt und durch Substitution gelöst werden kann.
55	55	{{/aufgabe}}
56	56
57		-{{aufgabe id="Rückwärts lösen" afb="III" kompetenzen="K2,K5" zeit="15" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA"}}
	55	+{{aufgabe id="Rückwärts lösen" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA"}}
58	58	(% class="abc" %)
59		-1. (((
60		-
61		-{{formula}}
62		-\begin{align}
63		-\square x^3+\square &= 0\\
64		-\square x^3 &=\square\quad \mid :2\\
65		-x^3 &= \square \\
66		-x &= -2
67		-\end{align}
68		-{{/formula}}
69		-
	57	+1. ((({{formula}}\square x^3+\square=0{{/formula}}
	58	+{{formula}}\square x^3=\square{{/formula}} | //:2//
	59	+{{formula}}x^3=\square{{/formula}}
	60	+{{formula}}x=-2{{/formula}}
70	70	)))
71		-1. (((
72		-
73		-{{formula}}
74		-\begin{align*}
75		-2x^3+\square x^2 &= 0 \\
76		-\square (x-\square) &= 0 \mid \mid \text{ SVNP }
77		-\end{align*}
78		-{{/formula}}
79		-
80		-{{formula}}\Rightarrow x_{1,2}=\square; x_3=6{{/formula}}
	62	+1. ((({{formula}}2x^3+\square x^2=0{{/formula}}
	63	+{{formula}}\square (x-\square)=0{{/formula}} || SVNP
	64	+{{formula}}x_{1,2}=\square; x_3=6{{/formula}}
81	81	)))
82		-1. (((
83		-
84		-{{formula}}\begin{align*}
85		-x^4+\square x^2+\square &= 0 \quad \mid \mid\text{ Subst.: } x^2:=\square\\
86		-z^2+\square z + \square &= 0 \quad \mid \mid\text{ Mitternachtsformel/abc-Formel } &
	66	+1. ((({{formula}}x^4+\square x^2+\square=0{{/formula}} || Subst.: {{formula}}x^2:=\square{{/formula}}
	67	+{{formula}}z^2+\square z + \square = 0{{/formula}} || SVNP
	68	+{{formula fontSize="larger"}}z_{1,2}=\frac{\square\pm\sqrt{\square^2-4\cdot\square\cdot\square}}{2\cdot\square}{{/formula}}
	69	+{{formula fontSize="larger"}}z_1=\frac{\square+\square}{\square}; z_2=\frac{\square-\square}{\square}{{/formula}}
	70	+Resubst.: {{formula}}\square := x^2{{/formula}}
	71	+{{formula}}x_{1,2}^2=36 \Rightarrow x_{1,2}=\square{{/formula}}
	72	+{{formula}}x_{3,4}^2=\square \Rightarrow x_{3,4}=\pm 2{{/formula}}
	73	+)))
	74	+1. ((({{formula}}\begin{align*}
	75	+x^4+\square x^2+\square=0 \text{ || Subst.: }x^2:=\square\\
	76	+z^2+\square z + \square = 0 \text{ || SVNP } \\
	77	+z_{1,2}=\frac{\square\pm\sqrt{\square^2-4\cdot\square\cdot\square}}{2\cdot\square}\\
	78	+z_1=\frac{\square+\square}{\square}; z_2=\frac{\square-\square}{\square}\\
	79	+\text{Resubst.: } \square := x^2\\
	80	+x_{1,2}^2=36 \Rightarrow x_{1,2}=\square\\
	81	+x_{3,4}^2=\square \Rightarrow x_{3,4}=\pm 2
87	87	\end{align*}
88		-{{/formula}}
89		-
90		-{{formula}}
91		-\begin{align*}
92		-\Rightarrow z_{1,2}&=\frac{\square\pm\sqrt{\square^2-4\cdot\square\cdot\square}}{2\cdot\square}\\
93		-z_1&=\frac{\square+\square}{\square}; z_2=\frac{\square-\square}{\square}
94		-\end{align*}
95		-{{/formula}}
96		-
97		-{{formula}}
98		-\begin{align*}
99		-&\text{Resubst.: } \square := x^2\\
100		-&x_{1,2}^2=36 \Rightarrow x_{1,2}=\square\\
101		-&x_{3,4}^2=\square \Rightarrow x_{3,4}=\pm 2
102		-\end{align*}
103	103	{{/formula}})))
104	104	{{/aufgabe}}
105	105
106		-{{aufgabe id="Einfache Ungleichung" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA" zeit="10"}}
	86	+{{aufgabe id="Einfache Ungleichung" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA"}}
107	107	Sara und Paul möchten folgende Ungleichung lösen: {{formula}}-a < -b{{/formula}}
108	108	Sara und Paul haben unterschiedliche Ideen, wie sie die Gleichung lösen möchten.
109	109	Sara möchte zu beiden Seiten {{formula}}a+b{{/formula}} addieren.
...	...	@@ -111,40 +111,17 @@
111	111	Gib an, wie sich die Gleichung jeweils verändert und welche Idee zur Lösung der Ungleichung führt.
112	112	{{/aufgabe}}
113	113
114		-{{aufgabe id="Verfahren Ungleichungen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="ChatGPT (Fachberatung), überarbeitet durch Martin Rathgeb" lizenz="BY-SA" zeit="15"}}
115		-Erläutere die drei grundlegenden Verfahren zur Lösung von Polynomungleichungen:
	94	+{{aufgabe id="Quadratische Ungleichung" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA"}}
	95	+Gegeben ist die Ungleichung {{formula}}3x^2+12x+9\le0{{/formula}}
116	116	(% class="abc" %)
117		-1. das tabellarische Verfahren,
118		-1. das graphische Verfahren,
119		-1. das rechnerische Verfahren.
120		-
121		-//Alternativ.// Stelle dir vor, du sollst einem Mitschüler oder einer Mitschülerin erklären, welches der drei Verfahren zur Lösung von Polynomungleichungen in welcher Situation besonders sinnvoll ist. Formuliere eine Empfehlung mit Begründung und zeige dabei, dass du die Verfahren sicher verstanden hast.
	97	+1. Löse die Ungleichung graphisch
	98	+1. Löse die Ungleichung algebraisch, ggf. unter Zuhilfenahme einer Skizze.
122	122	{{/aufgabe}}
123	123
124		-{{aufgabe id="Anwendung drei Verfahren" afb="II" kompetenzen="K4, K5" quelle="ChatGPT (Fachberatung), überarbeitet durch Martin Rathgeb" lizenz="BY-SA" zeit="25"}}
125		-Gegeben ist die Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3{{/formula}}. Untersuche, für welche Werte von {{formula}}x{{/formula}} die Ungleichung {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} erfüllt ist. Vergleiche dazu die drei grundlegenden Verfahren zur Bearbeitung einer Polynomungleichung:
126		-
127		-(% class="abc" %)
128		-1. //Tabellarisches Verfahren (Teil 1).// Erstelle zunächst eine Wertetabelle für {{formula}}x = -2;\ -1;\ 0;\ 1;\ 2{{/formula}}. Interpretiere das Vorzeichenverhalten von {{formula}}f(x){{/formula}}.
129		-1. //Tabellarisches Verfahren (Teil 2).// Ergänze anschließend weitere Funktionswerte für {{formula}}x = -1{,}5;\ -0{,}5;\ 0{,}5;\ 1{,}5{{/formula}}. Interpretiere nun genauer, in welchen Intervallen die Ungleichung erfüllt sein könnte.
130		-1. //Graphisches Verfahren.// Skizziere den Graphen der Funktion qualitativ. Nutze dafür die bisherigen Werte sowie Kenntnisse über Achsensymmetrie und das Verhalten im Unendlichen.
131		-1. //Rechnerisches Verfahren.// Bestimme die Nullstellen rechnerisch und leite daraus die Lösung der Ungleichung {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} ab.
	101	+{{aufgabe id="Quadratische Ungleichung" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA"}}
	102	+Gesucht ist nach dem Intervall, in dem die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=3x^2+12x+9{{/formula}} unterhalb der x-Achse verläuft. Untersuche, ob folgende Ungleichung den Sachverhalt widerspiegelt: {{formula}}-(3x^2+12x+9)>0{{/formula}}
132	132	{{/aufgabe}}
133	133
134		-{{aufgabe id="Quadratische Ungleichung" afb="I" kompetenzen="K4, K5" zeit="5" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA"}}
135		-Gegeben ist die Ungleichung {{formula}}3x^2+12x+9\le0{{/formula}}.
136		-(% class="abc" %)
137		-1. Bestimme die Lösung der Ungleichung graphisch.
138		-1. Bestimme die Lösung der Ungleichung algebraisch, ggf. unter Zuhilfenahme einer Skizze.
139		-{{/aufgabe}}
	105	+{{lehrende}}K3 wird in BPE 3.5 abgedeckt.{{/lehrende}}
140	140
141		-{{aufgabe id="Quadratische Ungleichung" afb="II" kompetenzen="K4" zeit="4" quelle="Stefanie Schmidt" lizenz="BY-SA"}}
142		-Gesucht ist nach dem Intervall, in dem die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=3x^2+12x+9{{/formula}} unterhalb der x-Achse verläuft. Untersuche, ob folgende Ungleichung den Sachverhalt widerspiegelt: {{formula}}-(3x^2+12x+9)>0{{/formula}}.
143		-{{/aufgabe}}
144		-
145		-{{lehrende}}
146		-K3 wird in BPE 3.5 abgedeckt.
147		-Es fehlt eine Aufgabe zu einem numerischen Lösungsverfahren.
148		-{{/lehrende}}
149		-
150	150	{{seitenreflexion kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}