Änderungen von Dokument Lösung Anwendung drei Verfahren

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Seiteneigenschaften

Inhalt

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3	3
4	4	**Lösungsschritte:**
5	5	(% class="abc" %)
6		-1. //Tabellarisches Verfahren (Teil 1).//
	6	+1. **Tabellarisches Verfahren (Teil 1).**
7	7
8		-**Wertetabelle I (ganzzahlige Werte):**
	8	+//Wertetabelle I.//
	9	+
9	9	(% class="border slim" %)
10	10	|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}|
11	11	|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}|
12	12
13		-**Interpretation:**
14		-Die Funktion nimmt in diesen Punkten ausschließlich nicht-negative Werte an. Nur bei {{formula}}x = \pm 1{{/formula}} wird der Funktionswert null. Zwischen diesen Punkten bleibt das Verhalten unklar – wir sehen noch keine negativen Werte. Eine genauere Untersuchung ist nötig.
	14	+//Interpretation.//
	15	+Die Funktionswerte sind überall nicht-negativ. Bei {{formula}}x = \pm 1{{/formula}} ergibt sich jeweils {{formula}}f(x) = 0{{/formula}}. Zwischen den Nullstellen ist das Vorzeichenverhalten noch unklar.
15	15
16		-2. //Tabellarisches Verfahren (Teil 2).//
	17	+2. **Tabellarisches Verfahren (Teil 2).**
17	17
18		-**Wertetabelle II (ergänzende Zwischenwerte):**
	19	+//Wertetabelle II.//
19	19	(% class="border slim" %)
20		-|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{,}5{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}-0{,}5{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}0{,}5{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}1{,}5{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}|
21		-|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}<0{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}>0{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}>0{{/formula}}||{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}<0{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}|
	21	+|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{,}5{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}-0{,}5{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}0{,}5{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}1{,}5{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}
	22	+|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}-0,...{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}+2,...{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}+2,...{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}-0,...{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}
22	22
23		-**Interpretation:**
24		-Nun zeigt sich:
25		-(i) Für diejenigen {{formula}}x{{/formula}} mit {{formula}}x<-2{{/formula}}, {{formula}}-1<x<+1[{{/formula}} und {{formula}}+2<x{{/formula}} gilt {{formula}}f(x)>0{{/formula}}.
26		-(ii) Für diejenigen {{formula}}x{{/formula}} mit {{formula}}-1,5<x<-1{{/formula}}, {{formula}}+1<x<+1,5[{{/formula}} gilt {{formula}}f(x)<{{/formula}}.
27		-(iii) Hingegen liegt in den Intervallen {{formula}}]-2; -1,5[{{/formula}} und {{formula}}]+1,5; +2[{{/formula}} jeweils mindestens eine Nullstelle von {{formula}}f{{/formula}}, denn für beide Intervalle gilt: An den Rändern hat {{formula}}f(x){{\formula}} unterschiedliche Vorzeichen.
28	28
29		-3. **Graphische Skizze:**
	25	+*Interpretation:*
	26	+- {{formula}}f(x) < 0{{/formula}} für {{formula}}x = \pm 1{,}5{{/formula}}
	27	+- {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} für {{formula}}x = \pm 0{,}5{{/formula}}
	28	+→ In den Intervallen zwischen {{formula}}x = -1{,}5{{/formula}} und {{formula}}x = -1{{/formula}}, sowie zwischen {{formula}}x = 1{{/formula}} und {{formula}}x = 1{,}5{{/formula}}, wechselt das Vorzeichen.
30	30
31		-Die Funktion ist **geraden Grades** (4) mit **positivem Leitkoeffizienten** (1). Daraus folgt:
32		-- {{formula}}\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = +\infty{{/formula}}
33		-- Die Funktion ist **achsensymmetrisch**, da alle Potenzen gerade sind.
34		-- Die vorherige Tabelle zeigt, dass der Graph in der Nähe von {{formula}}x = \pm 1{{/formula}} die x-Achse berührt und dazwischen negativ wird.
35	35
36		-**Lage zur x-Achse:**
37		-- Nullstellen: {{formula}}x = -\sqrt{3},\ -1,\ 1,\ \sqrt{3}{{/formula}}
38		-- Graph liegt **oberhalb der x-Achse** für:
39		- - {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}}
40		- - {{formula}}-1 < x < 1{{/formula}}
41		- - {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}}
	31	+//Interpretation.//
	32	+i) Also gilt {{formula}}f(x)>0{{/formula}} für alle {{formula}}x{{/formula}} kleiner -2, für alle {{formula}}x{{/formula}} zwischen -1 und +1 und für alle {{formula}}x{{/formula}} größer +2.
	33	+ii) Entsprechend gilt {{formula}}f(x)<0{{/formula}} für alle {{formula}}x{{/formula}} zwischen -1,5 und -1 und für alle {{formula}}x{{/formula}} zwischen +1 und +1,5.
	34	+iii) Hingegen liegt in den Intervallen {{formula}}]-2; -1,5[{{/formula}} und {{formula}}]+1,5; +2[{{/formula}} jeweils mindestens eine Nullstelle von {{formula}}f{{/formula}}, denn bei beiden Intervallen haben die Funktionswerte an den Rändern verschiedene Vorzeichen.
42	42
43		----
	36	+3. **Graphische Skizze:**
44	44
	38	+i) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} ist //symmetrisch zur y-Achse//, denn {{formula}}f{{/formula}} ist //gerade//, denn die im Funktionsterm der Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} auftretenden x-Potenzen sind allesamt gerade.
	39	+ii) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} kommt von links //oben// und geht nach rechts //oben//, denn die Vergleichsfunktion von {{formula}}f{{/formula}} ist die Potenzfunktion {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}g(x)=x^4{{/formula}}.
	40	+iii) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} schneidet der Wertetabelle gemäß die x-Achse zwischen -2 und -1,5 (VZW +/-), bei {{formula}}x=-1{{/formula}} (VZW -/+), bei {{formula}}x=+1{{/formula}} (VZW +/-) und zwischen +1,5 und +2 (VZW -/+).
	41	+iv) Also gilt {{formula}}f(x)>0{{/formula}} zunächst bis zur ersten Nullstelle (zwischen -2 und -1,5 gelegen), weiter zwischen den Nullstellen -1 und +1 und zuletzt ab der vierten Nullstelle (zwischen +1,5 und +2 gelegen).
	42	+
45	45	4. **Rechnerisches Verfahren:**
46	46
47		-Faktorisieren:
	45	+i) //Faktorisieren// (Satz von Vieta zzgl. dritte binomische Formel): {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x +\sqrt{3})(x+1)(x -1)(x -\sqrt{3}){{/formula}}
	46	+ii) //Nullstellen// (jeweils 1-fach): {{formula}}-\sqrt{3}{{/formula}}, {{formula}}-1{{/formula}}, {{formula}}+1{{/formula}}, {{formula}}+\sqrt{3}{{/formula}}
	47	+iii) //Vorzeichenanalyse://
	48	+iii.1) Wenn die Vielfachheiten aller Nullstellen bekannt sind, dann genügt auch das Globalverhalten bzw. eine Teststelle.
	49	+iii.2) Naives Vorgehen: Wähle in jedem der fünf Teilintervalle eine //Teststelle// und ermittle das Vorzeichen vom zugehörigen Funktionswert.
48	48
49		-{{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x - 1)(x + 1)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}){{/formula}}
50		-
51		-**Nullstellen:**
52		-
53		-{{formula}}x = -\sqrt{3},\ -1,\ 1,\ \sqrt{3}{{/formula}}
54		-
55		-**Vorzeichenanalyse:**
56		-
57	57	| Intervall | Testwert | Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} |
58		-|----------------------------------|----------|---------------------------------------------|
59		-| {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = -2{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
60		-| {{formula}}(-\sqrt{3}, -1){{/formula}} | {{formula}}x = -1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) = -0{,}9375 < 0{{/formula}} |
61		-| {{formula}}(-1,\ 1){{/formula}} | {{formula}}x = 0{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
62		-| {{formula}}(1,\ \sqrt{3}){{/formula}} | {{formula}}x = 1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) = -0{,}9375 < 0{{/formula}} |
63		-| {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = 2{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
	52	+| {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = -2{{/formula}} | {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} |
	53	+| {{formula}}]-\sqrt{3}; -1[{{/formula}} | {{formula}}x = -1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) < 0{{/formula}} |
	54	+| {{formula}}]-1;\ 1[{{/formula}} | {{formula}}x = 0{{/formula}} | {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} |
	55	+| {{formula}}]1;\ \sqrt{3}[{{/formula}} | {{formula}}x = 1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) < 0{{/formula}} |
	56	+| {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = 2{{/formula}} | {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} |
64	64
65		-**Gesuchte Lösung:**
66		-{{formula}}f(x) > 0{{/formula}} ist erfüllt für
	58	+iv) //Gesuchte Lösung://
	59	+Es ist {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} erfüllt für alle {{formula}}x\in \mathbb{L}\quad =\quad ]-\infty; -\sqrt{3}[ \quad\cup\quad ]-1; +1[ \quad\cup\quad ]\sqrt{3}; +\infty[{{/formula}}
67	67
68		-**L** = {{formula}}(-\infty,\ -\sqrt{3}) \cup (-1,\ 1) \cup (\sqrt{3},\ \infty){{/formula}}
69		-
70		----
71		-
72		-5. **Vergleich der Verfahren:**
73		-
74		-- Das **tabellarische Verfahren** gibt erste Hinweise auf das Verhalten der Funktion, eignet sich zur Erkundung durch systematisches Probieren, bleibt aber ungenau bei der Bestimmung von Nullstellenpositionen.
75		-- Das **graphische Verfahren** bietet anschauliche Orientierung: Vorzeichenwechsel, Lage zur x-Achse und Symmetrie werden sichtbar. Es stützt das funktionale Verständnis, ist aber zeichengenauigkeitsabhängig.
76		-- Das **rechnerische Verfahren** liefert exakte Aussagen zu Nullstellen, Intervallen und Lösungsmenge. Es ist unverzichtbar für formale Sicherheit, setzt jedoch algebraische Fähigkeiten voraus.
77		-
78		-**Didaktisch:**
79		-Die Verfahren stehen in einer natürlichen Lernprogression:
80		-Vom **konkreten Probieren (Tabelle)** über das **visuelle Erfassen (Graph)** hin zum **symbolischen Durchdringen (Rechnung)**. Ihr Zusammenspiel stärkt nachhaltiges Verständnis für das Verhalten ganzrationaler Funktionen.
81		-
82		-{{/loesung}}
83		-
84		----
85		-
86		-**Zusammenfassung:**
	61	+**Anmerkung:**
87	87	- Das **tabellarische Verfahren** zeigt erste Hinweise auf Nullstellen und Verläufe.
88	88	- Das **graphische Verfahren** unterstützt die visuelle Einschätzung von Steigung und Vorzeichenbereichen.
89	89	- Das **rechnerische Verfahren** liefert die exakte Lösung in Produktform und damit eine genaue Bestimmung der Lösungsmenge.
90		-
91		-{{/loesung}}
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