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Lösung Anwendung drei Verfahren

Version 28.1 von Martin Rathgeb am 2025/04/07 01:19

Aufgabenstellung:
Gegeben ist die Polynomfunktion f mit f(x) = x^4 - 4x^2 + 3. Untersuche, für welche Werte von x die Ungleichung f(x) > 0 erfüllt ist. Vergleiche dazu die drei grundlegenden Verfahren zur Bearbeitung einer Polynomungleichung:

Lösungsschritte:

  1. Tabellarisches Verfahren (Teil 1).

Wertetabelle I.

x      -2-1012
f(x)   3 0 30 3

Interpretation.
Die Funktionswerte sind überall nicht-negativ. Bei x = \pm 1 ergibt sich jeweils f(x) = 0. Zwischen den Nullstellen ist das Vorzeichenverhalten noch unklar.

2. Tabellarisches Verfahren (Teil 2).

Wertetabelle II.

x      -2-1{,}5-1-0{,}500{,}511{,}52
f(x)   3 -0,...0 +2,...3+2,...0 -0,...3

*Interpretation:*  
- f(x) < 0 für x = \pm 1{,}5  
- f(x) > 0 für x = \pm 0{,}5  
→ In den Intervallen zwischen x = -1{,}5 und x = -1, sowie zwischen x = 1 und x = 1{,}5, wechselt das Vorzeichen.

Interpretation.
i) Also gilt f(x)>0 für alle x kleiner -2, für alle x zwischen -1 und +1 und für alle x größer +2.
ii) Entsprechend gilt f(x)<0 für alle x zwischen -1,5 und -1 und für alle x zwischen +1 und +1,5.
iii) Hingegen liegt in den Intervallen ]-2; -1,5[ und ]+1,5; +2[ jeweils mindestens eine Nullstelle von f, denn bei beiden Intervallen haben die Funktionswerte an den Rändern verschiedene Vorzeichen.

3. Graphische Skizze:

i) Der Graph von f ist symmetrisch zur y-Achse, denn f ist gerade, denn die im Funktionsterm der Polynomfunktion f auftretenden x-Potenzen sind allesamt gerade.
ii) Der Graph von f kommt von links oben und geht nach rechts oben, denn die Vergleichsfunktion von f ist die Potenzfunktion g mit g(x)=x^4.
iii) Der Graph von f schneidet der Wertetabelle gemäß die x-Achse zwischen -2 und -1,5 (VZW +/-), bei x=-1 (VZW -/+), bei x=+1 (VZW +/-) und zwischen +1,5 und +2 (VZW -/+).
iv) Also gilt f(x)>0 zunächst bis zur ersten Nullstelle (zwischen -2 und -1,5 gelegen), weiter zwischen den Nullstellen -1 und +1 und zuletzt ab der vierten Nullstelle (zwischen +1,5 und +2 gelegen).

4. Rechnerisches Verfahren:

i) Faktorisieren (Satz von Vieta zzgl. dritte binomische Formel): f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x +\sqrt{3})(x+1)(x -1)(x -\sqrt{3})
ii) Nullstellen (jeweils 1-fach): -\sqrt{3}, -1, +1, +\sqrt{3}
iii) Vorzeichenanalyse://
iii.1) Wenn die Vielfachheiten aller Nullstellen bekannt sind, dann genügt auch das Globalverhalten bzw. eine Teststelle.
iii.2) Naives Vorgehen: Wähle in jedem der fünf Teilintervalle eine Teststelle und ermittle das Vorzeichen vom zugehörigen Funktionswert.

 Intervall                          Testwert  Vorzeichen von f(x) 
 x < -\sqrt{3}         x = -2  f(x) > 0 
 ]-\sqrt{3}; -1[      x = -1{,}5  f(x) < 0 
 ]-1;\ 1[             x = 0  f(x) > 0 
 ]1;\ \sqrt{3}[       x = 1{,}5  f(x) < 0 
 x > \sqrt{3}         x = 2  f(x) > 0 

iv) Gesuchte Lösung:
Es ist f(x) > 0 erfüllt für alle x\in \mathbb{L}\quad =\quad ]-\infty; -\sqrt{3}[ \quad\cup\quad ]-1; +1[ \quad\cup\quad ]\sqrt{3}; +\infty[

Anmerkung:
- Das tabellarische Verfahren zeigt erste Hinweise auf Nullstellen und Verläufe.
- Das graphische Verfahren unterstützt die visuelle Einschätzung von Steigung und Vorzeichenbereichen.
- Das rechnerische Verfahren liefert die exakte Lösung in Produktform und damit eine genaue Bestimmung der Lösungsmenge.