Änderungen von Dokument Lösung Anwendung drei Verfahren

Zusammenfassung

• Seiteneigenschaften (1 geändert, 0 hinzugefügt, 0 gelöscht)

Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -3,54 +3,84 @@
3	3
4	4	**Lösungsschritte:**
5	5	(% class="abc" %)
6		-1. //Tabellarisches Verfahren (Teil 1).//
7		-
8		-**Wertetabelle I (ganzzahlige Werte):**
	6	+1. (((//Tabellarisches Verfahren.//
	7	+1. **Wertetabelle I (ganzzahlige Werte):**
9	9	(% class="border slim" %)
10		-|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}
11		-|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}
12		-
	9	+|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}|
	10	+|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}|
13	13	**Interpretation:**
14	14	Die Funktion nimmt in diesen Punkten ausschließlich nicht-negative Werte an. Nur bei {{formula}}x = \pm 1{{/formula}} wird der Funktionswert null. Zwischen diesen Punkten bleibt das Verhalten unklar – wir sehen noch keine negativen Werte. Eine genauere Untersuchung ist nötig.
15		-
16		-2. //Tabellarisches Verfahren (Teil 2).//
17		-
18		-**Wertetabelle II (ergänzende Zwischenwerte):**
	13	+1. **Wertetabelle II (ergänzende Zwischenwerte):**
19	19	(% class="border slim" %)
20		-|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{,}5{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}-0{,}5{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}0{,}5{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}1{,}5{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}
21		-|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}-0,...{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}+2,...{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}+2,...{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}-0,...{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}
22		-
	15	+|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-1{,}5{{/formula}}|{{formula}}-0{,}5{{/formula}}|{{formula}}0{,}5{{/formula}}|{{formula}}1{,}5{{/formula}}|
	16	+|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}-0{,}9375{{/formula}}|{{formula}}2{,}4375{{/formula}}|{{formula}}2{,}4375{{/formula}}|{{formula}}-0{,}9375{{/formula}}|
23	23	**Interpretation:**
24		-i) Also gilt {{formula}}f(x)>0{{/formula}} für alle {{formula}}x{{/formula}} kleiner -2, für alle {{formula}}x{{/formula}} zwischen -1 und +1 und für alle {{formula}}x{{/formula}} größer +2.
25		-ii) Entsprechend gilt {{formula}}f(x)<0{{/formula}} für alle {{formula}}x{{/formula}} zwischen -1,5 und -1 und für alle {{formula}}x{{/formula}} zwischen +1 und +1,5.
26		-iii) Hingegen liegt in den Intervallen {{formula}}]-2; -1,5[{{/formula}} und {{formula}}]+1,5; +2[{{/formula}} jeweils mindestens eine Nullstelle von {{formula}}f{{/formula}}, denn bei beiden Intervallen haben die Funktionswerte an den Rändern verschiedene Vorzeichen.
	18	+Nun zeigt sich: In den Intervallen {{formula}}(-\sqrt{3},\ -1){{/formula}} und {{formula}}(1,\ \sqrt{3}){{/formula}} ist {{formula}}f(x) < 0{{/formula}}. Dazwischen sowie außerhalb dieser Bereiche nimmt {{formula}}f(x) positive Werte an. Das deutet auf **vier Nullstellen** und drei Intervallbereiche für das Vorzeichenverhalten hin.
27	27
	20	+)))
	21	+---
	22	+
28	28	3. **Graphische Skizze:**
29	29
30		-i) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} ist //symmetrisch zur y-Achse//, denn {{formula}}f{{/formula}} ist //gerade//, denn die im Funktionsterm der Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} auftretenden x-Potenzen sind allesamt gerade.
31		-ii) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} kommt von links //oben// und geht nach rechts //oben//, denn die Vergleichsfunktion von {{formula}}f{{/formula}} ist die Potenzfunktion {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}g(x)=x^4{{/formula}}.
32		-iii) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} schneidet der Wertetabelle gemäß die x-Achse zwischen -2 und -1,5 (VZW +/-), bei {{formula}}x=-1{{/formula}} (VZW -/+), bei {{formula}}x=+1{{/formula}} (VZW +/-) und zwischen +1,5 und +2 (VZW -/+).
33		-iv) Also gilt {{formula}}f(x)>0{{/formula}} zunächst bis zur ersten Nullstelle (zwischen -2 und -1,5 gelegen), weiter zwischen den Nullstellen -1 und +1 und zuletzt ab der vierten Nullstelle (zwischen +1,5 und +2 gelegen).
	25	+Die Funktion ist **geraden Grades** (4) mit **positivem Leitkoeffizienten** (1). Daraus folgt:
	26	+- {{formula}}\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = +\infty{{/formula}}
	27	+- Die Funktion ist **achsensymmetrisch**, da alle Potenzen gerade sind.
	28	+- Die vorherige Tabelle zeigt, dass der Graph in der Nähe von {{formula}}x = \pm 1{{/formula}} die x-Achse berührt und dazwischen negativ wird.
34	34
	30	+**Lage zur x-Achse:**
	31	+- Nullstellen: {{formula}}x = -\sqrt{3},\ -1,\ 1,\ \sqrt{3}{{/formula}}
	32	+- Graph liegt **oberhalb der x-Achse** für:
	33	+ - {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}}
	34	+ - {{formula}}-1 < x < 1{{/formula}}
	35	+ - {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}}
	36	+
	37	+---
	38	+
35	35	4. **Rechnerisches Verfahren:**
36	36
37		-i) //Faktorisieren// (Satz von Vieta zzgl. dritte binomische Formel): {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x +\sqrt{3})(x+1)(x -1)(x -\sqrt{3}){{/formula}}
38		-ii) //Nullstellen// (jeweils 1-fach): {{formula}}-\sqrt{3}{{/formula}}, {{formula}}-1{{/formula}}, {{formula}}+1{{/formula}}, {{formula}}+\sqrt{3}{{/formula}}
39		-iii) //Vorzeichenanalyse://
40		-iii.1) Wenn die Vielfachheiten aller Nullstellen bekannt sind, dann genügt auch das Globalverhalten bzw. eine Teststelle.
41		-iii.2) Naives Vorgehen: Wähle in jedem der fünf Teilintervalle eine //Teststelle// und ermittle das Vorzeichen vom zugehörigen Funktionswert.
	41	+Faktorisieren:
42	42
	43	+{{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x - 1)(x + 1)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}){{/formula}}
	44	+
	45	+**Nullstellen:**
	46	+
	47	+{{formula}}x = -\sqrt{3},\ -1,\ 1,\ \sqrt{3}{{/formula}}
	48	+
	49	+**Vorzeichenanalyse:**
	50	+
43	43	| Intervall | Testwert | Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} |
44		-| {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = -2{{/formula}} | {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} |
45		-| {{formula}}(-\sqrt{3}, -1){{/formula}} | {{formula}}x = -1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) < 0{{/formula}} |
46		-| {{formula}}(-1,\ 1){{/formula}} | {{formula}}x = 0{{/formula}} | {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} |
47		-| {{formula}}(1,\ \sqrt{3}){{/formula}} | {{formula}}x = 1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) < 0{{/formula}} |
48		-| {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = 2{{/formula}} | {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} |
	52	+|----------------------------------|----------|---------------------------------------------|
	53	+| {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = -2{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
	54	+| {{formula}}(-\sqrt{3}, -1){{/formula}} | {{formula}}x = -1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) = -0{,}9375 < 0{{/formula}} |
	55	+| {{formula}}(-1,\ 1){{/formula}} | {{formula}}x = 0{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
	56	+| {{formula}}(1,\ \sqrt{3}){{/formula}} | {{formula}}x = 1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) = -0{,}9375 < 0{{/formula}} |
	57	+| {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = 2{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
49	49
50		-iv) //Gesuchte Lösung://
51		-Es ist {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} erfüllt für alle {{formula}}x\in \mathbb{L}\quad =\quad ]-\infty; -\sqrt{3}[ \quad\cup\quad ]-1; +1[ \quad\cup\quad ]\sqrt{3}; +\infty[{{/formula}}
	59	+**Gesuchte Lösung:**
	60	+{{formula}}f(x) > 0{{/formula}} ist erfüllt für
52	52
53		-**Anmerkung:**
	62	+**L** = {{formula}}(-\infty,\ -\sqrt{3}) \cup (-1,\ 1) \cup (\sqrt{3},\ \infty){{/formula}}
	63	+
	64	+---
	65	+
	66	+5. **Vergleich der Verfahren:**
	67	+
	68	+- Das **tabellarische Verfahren** gibt erste Hinweise auf das Verhalten der Funktion, eignet sich zur Erkundung durch systematisches Probieren, bleibt aber ungenau bei der Bestimmung von Nullstellenpositionen.
	69	+- Das **graphische Verfahren** bietet anschauliche Orientierung: Vorzeichenwechsel, Lage zur x-Achse und Symmetrie werden sichtbar. Es stützt das funktionale Verständnis, ist aber zeichengenauigkeitsabhängig.
	70	+- Das **rechnerische Verfahren** liefert exakte Aussagen zu Nullstellen, Intervallen und Lösungsmenge. Es ist unverzichtbar für formale Sicherheit, setzt jedoch algebraische Fähigkeiten voraus.
	71	+
	72	+**Didaktisch:**
	73	+Die Verfahren stehen in einer natürlichen Lernprogression:
	74	+Vom **konkreten Probieren (Tabelle)** über das **visuelle Erfassen (Graph)** hin zum **symbolischen Durchdringen (Rechnung)**. Ihr Zusammenspiel stärkt nachhaltiges Verständnis für das Verhalten ganzrationaler Funktionen.
	75	+
	76	+{{/loesung}}
	77	+
	78	+---
	79	+
	80	+**Zusammenfassung:**
54	54	- Das **tabellarische Verfahren** zeigt erste Hinweise auf Nullstellen und Verläufe.
55	55	- Das **graphische Verfahren** unterstützt die visuelle Einschätzung von Steigung und Vorzeichenbereichen.
56	56	- Das **rechnerische Verfahren** liefert die exakte Lösung in Produktform und damit eine genaue Bestimmung der Lösungsmenge.
	84	+
	85	+{{/loesung}}
	86	+