Änderungen von Dokument Lösung Anwendung drei Verfahren

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -20,6 +20,7 @@
20	20	(% class="border slim" %)
21	21	|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{,}5{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}-0{,}5{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}0{,}5{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}1{,}5{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}
22	22	|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}-0,...{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}+2,...{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}+2,...{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}-0,...{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}
	23	+|Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}+{{/formula}} |{{formula}}-{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}+{{/formula}}|{{formula}}+{{/formula}}|{{formula}}+{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}-{{/formula}}|{{formula}}+{{/formula}}
23	23
24	24	//Interpretation.//
25	25	i) Wir kennen nun nicht nur die beiden Nullstellen {{formula}}x=\pm 1{{/formula}}, sondern wissen auch, dass es in den Intervallen {{formula}}]-2; -1,5[{{/formula}} und {{formula}}]+1,5; +2[{{/formula}} noch jeweils mindestens eine Nullstelle von {{formula}}f{{/formula}} gibt, denn bei beiden Intervallen haben die Funktionswerte an den Rändern verschiedene Vorzeichen.
...	...	@@ -26,12 +26,13 @@
26	26	ii) Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat die Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} (vom Grad 4) unter Berücksichtigung der Vielfachheiten nur bis zu 4 reelle Nullstellen. Also sind alle Nullstellen von {{formula}}f{{/formula}} einfach mit {{formula}}-2<x_1<-1,5{{/formula}}, {{formula}}x_2=-1{{/formula}}, {{formula}}x_3=+1{{/formula}} und {{formula}}+1,5<x_4<2{{/formula}}.
27	27	iii) Also gilt {{formula}}f(x)>0{{/formula}} für alle {{formula}}x<x_1{{/formula}}, für alle {{formula}}x_2<x<x_3{{/formula}} und für alle {{formula}}x>x_4{{/formula}}.
28	28
29		-3. **Graphische Skizze:**
	30	+3. **Graphisches Verfahren:**
30	30
31	31	i) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} ist //symmetrisch zur y-Achse//, denn {{formula}}f{{/formula}} ist //gerade//, denn die im Funktionsterm der Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} auftretenden x-Potenzen sind allesamt gerade.
32	32	ii) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} kommt von links //oben// und geht nach rechts //oben//, denn das Globalverhalten von {{formula}}f{{/formula}} ist das Globalverhalten der Potenzfunktion {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}g(x)=x^4{{/formula}}.
33	33	iii) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} schneidet der Wertetabelle gemäß die x-Achse bei {{formula}}x_1{{/formula}} zwischen -2 und -1,5 (mit VZW +/-), bei {{formula}}x_2=-1{{/formula}} (mit VZW -/+), bei {{formula}}x_3=+1{{/formula}} (mit VZW +/-) und bei {{formula}}x_4{{/formula}} zwischen +1,5 und +2 (mit VZW -/+).
34		-iv) Also gilt {{formula}}f(x)>0{{/formula}} für alle {{formula}}x<x_1{{/formula}}, für alle {{formula}}x_2<x<x_3{{/formula}} und für alle {{formula}}x>x_4{{/formula}}.
	35	+iv) Skizze des Funktionsgraphen (selbst anfertigen)
	36	+v) Der Skizze lässt sich entnehmen: Es gilt {{formula}}f(x)>0{{/formula}} für alle {{formula}}x<x_1{{/formula}}, für alle {{formula}}x_2<x<x_3{{/formula}} und für alle {{formula}}x>x_4{{/formula}}.
35	35
36	36	4. **Rechnerisches Verfahren:**
37	37
...	...	@@ -42,7 +42,7 @@
42	42	iii.2) Testwertverfahren: Wähle in jedem der fünf Teilintervalle eine //Teststelle// und ermittle das Vorzeichen vom zugehörigen Funktionswert.
43	43
44	44	(% class="border slim" %)
45		-| Intervall | Testwert | {{formula}}f(x){{/formula}}
	47	+| Intervall | Testwert | Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}}
46	46	| {{formula}}x < x_1{{/formula}} | {{formula}}x = -2{{/formula}} | {{formula}}+{{/formula}}
47	47	| {{formula}}x_1 < x < x_2{{/formula}} | {{formula}}x = -1{,}5{{/formula}} | {{formula}}-{{/formula}}
48	48	| {{formula}}x_2 < x < x_3{{/formula}} | {{formula}}x = 0{{/formula}} | {{formula}}+{{/formula}}
...	...	@@ -49,19 +49,19 @@
49	49	| {{formula}}x_3 < x < x_4{{/formula}} | {{formula}}x = 1{,}5{{/formula}} | {{formula}}-{{/formula}}
50	50	| {{formula}}x > x_4{{/formula}} | {{formula}}x = 2{{/formula}} | {{formula}}+{{/formula}}
51	51
52		-*Gesuchte Lösung:*
	54	+//Gesuchte Lösung.//
53	53	Die Ungleichung {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} ist erfüllt für alle {{formula}}x{{/formula}} in:
54	54
55		-**L** = *der Vereinigung der folgenden offenen Intervalle:*
56		-„kleiner als die kleinste Nullstelle“: {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}}
57		-„zwischen –1 und 1“: {{formula}}-1 < x < 1{{/formula}}
58		-„größer als die größte Nullstelle“: {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}}
	57	+//Lösungsmenge.//
	58	+{{formula}}\mathbb{L} = {{/formula}} Vereinigung der folgenden offenen Intervalle:
	59	+i) „kleiner als die kleinste Nullstelle“: {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}}
	60	+ii) „zwischen –1 und 1“: {{formula}}-1 < x < 1{{/formula}}
	61	+iii) „größer als die größte Nullstelle“: {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}}
	62	+Formal: {{formula}}\mathbb{L} = ]-\infty,\ -\sqrt{3}[ \cup ]-1,\ 1[ \cup ]\sqrt{3},\ \infty[{{/formula}}
59	59
60		-→ Formal:
61		-
62		-{{formula}}\mathbb{L} = ]-\infty,\ -\sqrt{3}[ \cup ]-1,\ 1[ \cup ]\sqrt{3},\ \infty[{{/formula}}
63		-
64		-**Anmerkung:**
65		-- Das **tabellarische Verfahren** zeigt erste Hinweise auf Nullstellen und Verläufe.
66		-- Das **graphische Verfahren** unterstützt die visuelle Einschätzung von Steigung und Vorzeichenbereichen.
67		-- Das **rechnerische Verfahren** liefert die exakte Lösung in Produktform und damit eine genaue Bestimmung der Lösungsmenge.
	64	+**Anmerkung: Vergleich der Verfahren**
	65	+- Das //tabellarische Verfahren// bietet erste Einsichten: Es erlaubt, Vorzeichen zu erkunden und funktionale Zusammenhänge aufzubauen. Es bleibt jedoch punktuell und qualitativ.
	66	+- Das //graphische Verfahren// macht strukturelle Eigenschaften sichtbar: Symmetrie, Nullstellen, Anstiegsverhalten. Es visualisiert den Lösungsbereich und unterstützt Begriffsbildung.
	67	+- Das //rechnerische Verfahren// führt zur exakten Lösung: Es erlaubt die genaue Bestimmung aller Nullstellen und den präzisen Aufbau der Lösungsmenge. Dafür sind algebraische Fähigkeiten nötig.
	68	+//Didaktisch ergänzen sich die Verfahren.//
	69	+Sie bilden eine sinnvolle Progression – von konkreten Werten (Tabelle) über strukturierte Bilder (Graph) bis zur abstrakten Ableitung (Rechnung). Ihr Zusammenspiel fördert nachhaltiges Konzeptverständnis.